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轧钢中的浪费 一、问题描述 将粗大的钢坯压制成合格的钢材，需要两道工序。粗轧（热轧），形成钢坯的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品钢材。由于受环境、技术等因素的影响，粗轧得到的钢材长度是随机的，但大体上呈正态分布，其平均长度可以通过调整热轧机而设定，但均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；而如果粗轧后的钢材长度小于规定长度，则造成整根粗轧钢材浪费，问如何调整热轧机使得最终的浪费最小。 欢迎大家访问/jump?ptlang=2052clientuin=441046347clientkey=04F5308F10FEE62DCE62DB2345C17BA168A76F1E05ECB15FD92471B8AD16F562u1=http%3A%2F%2F%2F441046347%2FinfocenterADUIN=441046347ADSESSION=1285468873ADTAG=CLIENT.QQ.3007_Mysrv.0 传染病的随机感染模型 一、问题描述： 人群中既有病人（带菌者）也有健康人，任何两人之间的接触是随机的。当健康人与病人接触时，健康人是否被感染也是随机的。如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？ 如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律，那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种估计的准确性有多大？ 注：这个模型是静态的，但是它可以发展为动态模型，这只需要将健康人每天被感染的人数加到病人人数中去，同时从健康人人数中减去被感染的人数就行了。 * * * * 轧钢中的浪费 轧制钢材两道工序 粗轧(热轧) ~ 形成钢材的雏形 精轧(冷轧) ~ 得到钢材规定的长度 粗轧 钢材长度正态分布 均值可以调整 方差由设备精度确定 粗轧钢材长度大于规定 切掉多余 部分 粗轧钢材长度小于规定 整根报废 随机因素影响 精轧 问题：如何调整粗轧的均值，使精轧的浪费最小 背景 模型假设： 1、设精轧后成品钢材的规定长度为 L， 2、粗轧后钢材长度的均方差为 ? 3、粗轧后钢材长度的均值为 m 可以调整热轧机而定， 4、粗轧后的钢材长度 X 服从正态分布 X~N(m, ? 2 )。 模型分析： 因为粗轧后的钢材长度 X 服从正态分布 X~N(m, ? 2 )。 所以浪费情况如下： 1、若X＞ L，则浪费量为X－ L，概率为P(X＞L)； 2、若X＜ L，则浪费量为X，概率为P(X＜L)； 显然，若热轧机调整时m过大，则X偏大，即X＞L容易出现； 若热轧机调整时m过小，则X偏小，即X＜L容易出现； 所以，不管热轧机调整时，m是过大还是过小，浪费量 X－L或X出现的概率会增加，因此需要确定一个合适的 m 使得总浪费量（是一个随机变量）的期望最小。 建模与求解 随机变量总浪费量 由分析可知 由于 Y 的随机性，总浪费量应该用期望 EY 度量 因为 X~N(m, ? 2 )，所以 X 的概率密度为 所以 以上就是一根粗轧钢材总浪费量的平均值，目的就是 求 m 使 W(m) 达到最小值。 由于上式表示粗轧一根钢材的平均浪费量，但能否产生 成品钢材，还不一定。而从一个企业角度考虑，企业追 求的是经济效益，即生产一批成品钢材的平均浪费量来 衡量，所以目标函数 W(m) 要修改。 假设粗轧 N 根钢材，总的浪费量为 而粗轧一根钢材能产生一根成品钢材的概率为 所以，粗轧 N 根钢材产生的成品钢材根数为 故新目标函数：一批成品钢材的平均浪费量是： 令 可得 对 J(t) 求导，并令之为零得 上式的解 t 满足等式 其中 借助标准正态分布表，用描点法描绘函数 的图像，和直线 的图像，求交点得 t 的值。 或用数值方法求解也可。 比如：当 二、模型假设 1、人群分为病人和健康人两类，病人数 i 人，健康人s人，总人数n人（n不变）,显然n=i+s。 2、人群中任何两人的接触是相互独立的，且具有相同的概率，假设每人每天平均与m人接触。 3、当健康人与病人接触时，健康人被感染的概率为 这里涉及四个独立的参数n，i，m， 。通常n 和 i是知道的，m和 也可以根据数据或经验得到。 三、模型分析 要寻找健康人中每天平均被感染的人数与参数n，i， m， 的关系，为此，只需要知道健康人每天被感染的 概率，而健康人只要至少被一名病人接触并感染，这 个见健康人即被感染。所以先要求出一健康人被一名 指定病人接触并感染的概率，这个概率可以用一