【试题资料】常微分方程习题及答案.pdfVIP

答案 1.1 y + xtgα y 2 2 2 1.(1) (x , y ) y (2) (x − ) + (y − xy ) l (3) xy + y 0 x − ytg α y y 2 2 (4) (y − xy )(x − ) 2a (5) y − xy x y y 提示：过点 (x, y ) 的切线的横截距和纵截距分别为x − 和y − xy 。 y 2.设 0 时刻的质点的在平衡处，坐标轴为一平衡位置为原点，竖直向下为轴的方 向， 设弹簧的弹性系数为 k,根据能量守恒定律 dx 2 2 我们得到微分方程：:m( ) +kx =2mgx,x(0)=0, dt 3.如上建立坐标系，设任意时刻物体的位置为 x(t), 由牛顿运动定律， 2 2 dx 我们得到微分方程：md x/dt =mg-k ,其中 g 为重力加速度; dt 4.设任意时刻物体的温度为 T(t), 由牛顿冷却定律， dT (t) 我们得到微分方程： =-k(T(t)-A),T(0)=T0,其中 k 为比例系数， dt 解该方程得到：T(t)=A+(T -A) e−kt ; 0 5. 以静止时刻物体的位置为轴的零点，沿斜面向下为轴的方向建立轴。设任意时 刻物体的速度为 v(t),根据牛顿运动定律，我们得到微分方程： dv 3g ,v(0)=0; dt 2 dy(x) 2 y x ( ) dx 6 ．微分方程是 op − x dy(x) 2 ( ) − 1 dx dy dy d 2 y dy 7. 1) x 2y ，2) y ，3) dx dx dx dx 3x 2 d 2 x dx 2 4) c 2 + 3x ( ) ，代入略 2 dy dy dy dy 2 dy dρ dy dx 5) [ + ( ) ] − 0 ，6) ρ θ − θ ，7) − x y y sin (1 cos ) tgt dx dx dx