数值分析课程设计-三次样条插值.docVIP

《数值分析》课程设计 三次样条插值算法 院（系）名称 信息工程学院 专 业 班 级 09普本信计1班 学 号 090111073 学 生 姓 名 宣章然 指 导 教 师 孔繁民 2012年06月08日 三次样条插值 摘 要 分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用MATLAB软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。 关键字:三次样条 插值函数 MATLAB编程 收敛性 算法步骤 一 三次样条函数定义及特征 定义1：若函数,且在每个小区间上上是三次多项式，其中 是给定节点，则称是节点上的三次样条函数。若节点上 给定函数值 ,且 （1.1） 成立，则称 为三次样条差值函数。 从定义知，要求出，在每个应小区间 上确定4个待定系数，共有 n个小区间，故应确定4n 个参数，根据 在 上二阶导数连续，在节点处应满足连续性条件 （1.2） 共有 3n-3个条件，再加上满足插值条件（1.1），共有4n-2个条件，因此还需要2个条件才能确定。通常可在区间 端点上各加一个条件（称边界条件），边界条件可根据实际的问题要求给定。常见的三种： (1) 已知两端的一节导数值，即 （1.3） (2)两端的二阶导数已知，即 （1.4） 特殊情况下的边界条件 （1.4）’ 称为自然边界条件 （3）当是以 为周期函数时，则要求 也是周期函数，这时边界条件应满足 而此时式中 , 这样确定的样条函数 称为周期函数。 二 函数推导原理及构造 我们采用待定一阶导数的方法即设S(Xj)=Mj,j=0,1,...,n,因为分段三次Hermite插值多项式已经至少是一阶连续可导了，为了让它成为三次样条函数只需确定节点处的一阶导数使这些节点处的二阶导数连续即可！ 由于在内部节点处二阶导数连续条件： 整理化简后得： 第一类三次样条插值问题方程组由于已知： 基本方程组化为n-1阶方程组 化为矩阵形式 \ 这是一个严格对角占优的三对角方程组,用追赶法可以求解！ 第二类三次样条插值问题的方程组,由于已知： 故得： 稍加整理得 联合基本方程组得一个n+1阶三对角方程组，化成矩阵形式为：仍然是严格对角占优 第三类样条插值问题的方程组，由于： 立即可得下式： 其中: 联合基本方程得一个广义三对角或周期三对角方程组： 求解这些不同类型的样条插值问题的方程组，我们可得所要待定的一阶导数： 再代入S(x)的每一段表达式，就求得三次样条函数的表达式! 利用插值（即求过已知有限个数据点的近似函数）的基本原理，用多项式作为研究插值的工具，进行代数插值。其基本问题是：已知函数f (x)在区间[a,b]上n +1个不同点x0，…，xn处的函数值 (i = 0,1,…,n)，求一个至多n 次多项式ψn(x)使其在给定点处与 f (x)同值，即满足插值条件: ψn(x)= = .许多工程技术中提出的计算问题对插值函数的光滑性有较高要求，如飞机的机翼外形，内燃机的进、排气门的凸轮曲线，都要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。 数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间[a,b]的一个分划Δ如果函数s(x) 满足： （i）在每个小区间[ ](i=0,1,…,n)上s(x)是k 次多项式； （ii）s(x)在[a,b]上具有k ?1阶连续导数。 则称s(x)为关于分划Δ 的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。 （1.01） 根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间 上市不超过三次的