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保驻点曲线插值# 王旭辉，沈晓明，李泽伟，唐烁* （合肥工业大学数学学院，合肥 230009）  5 10 15 20 25 30 摘要：在某些实际应用中，采样得到的数据点处导数为零，即驻点。我们希望得到的插值曲 线保持这些驻点。已有的 Shepard 方法得到一个有理插值函数，但并不能避免在恰当区间内 出现极点。本文给出一种高效的保驻点插值方法, 且插值函数为多项式形式。最后通过数值 例子以及图形，展示了新方法的正确性和有效性。 关键词：计算数学；驻点；插值；差商 中图分类号：O241 Curve interpolation preserving stationary points Wang Xuhui, Shen Xiaoming, Li Zewei, Tang Shuo (School of Math., Hefei University of Technology, HeFei 230009) Abstract: In some practical applications, we hope that the interpolation curve has some special properties at interpolation point, which is the interpolation with stationary point. The Shepard method has been successfully used to solve this problem. However, the interpolation result is a rational function. This paper presents an efficient method for interpolation with stationary points based on divided differences computation. Numerical example and graphic is given to show the correctness and effectiveness of our method. Keywords: Computational mathematics; Stationary point; Interpolation; Divided differences 0 引言 函数插值是处理采样数据的一种基本方法。根据不同的应用需要，已有很多种不同的插 值函数构造方法[1-2]。如 Newton 插值，Hermite 插值，分段插值与样条插值，三角函数插 值，连分式插值[3]等。而在某些实际应用中，采样得到的数据点具有特别的信息。如在地 形信息重建中，采样数据点恰为驻点[4-5]。文[6]中针对采样数据为驻点的情况下，基于 Shepard 插值方法给出了一种解决方案。其所得的插值函数为有理函数，且并不能保证在恰 当的区间无极点，从而为这种方法的应用带来困难。另一方面，传统的重节点差商算法虽然 也能够解决此类问题，但是其差商计算复杂，得到的插值函数震幅较大。 1 保驻点插值 下面我们介绍一种新的多项式插值函数构造方法，此插值方法保证插值函数在插值点处 为驻点。给定点 ( xi , yi ), i?? 0,1, 满足下列条件： , n . 且 i?≠ j 时，xi?≠ x j 。设函数 y?? f ( x) 可导，若 f ( x) 35 (1) f ( xi )?? yi , (2) f ( xi )?? 0 . 则称 f ( x) 为保驻点插值函数。 基金项目：教育部博士点基金(20100111120001)；国家自然科学基金；中央高校基本科研业务费 专项经费(2012HGXJ0039) 作者简介：王旭辉，（1980-），男，讲师，主要研究方向：计算机辅助几何设计，符号计算. E-mail: wangxh06@ -1- 1.1 基函数选取 为了得到保驻点插值，我们拟对 Lagrange 函数进行改进。令  40 F ( x)?? Ln (x)?? G( x) , 其中 Ln ( x) 为 Lagrange 插值函数（或 Newton 插值函数） n k?? 0 ( x?? x0 ) ( x?? xk??1 )( x?? xk??1 ) ( x?? xn ) ( xk?? x0 ) ( xk?? xk??1 )( xk?? xk??1 ) ( xk?? xn )  . G( x) 为待定多项式函数。为了达到保驻点插值的基本要求，我们希望 F ( x) 满足下列 条件： 45 (1) (2) F ( xi )?? yi F (