数值分析教程5.2向量和矩阵的范数.docxVIP

§5.2 向量和矩阵的函数1 向量的范数 为了研究迭代过程的收敛性，需要对向量的“大小”引进某种度量。我们知道，向量的长度可以用来度量其大小，对于向量，其长度记作： 借助于长度可以刻画向量序列的收敛性。事实上，设有向量序列，和向量,则即的充要条件是 自然会问，除了长度以外，还有什么度量可用来刻画向量序列的收敛性？这些度量应当具备哪些基本属性？任给向量，其范数记，它是一个实数，且满足下列三项条件：对于任意向量， ，当且仅当时。对于任意实数及任意向量 （3）对于任意向量和，有 其中，性质（3）称作向量范数的三角不等式 。 按以上方式定义的范数，其具体形式是多种多样的，常用的范数有（1）2-范数（长度） （2）1-范数 （3）-范数 以上三种范数都是下列p-范数的特例： 事实上，1-范数和2-范数显然是p-范数当p=1和p=2时的特殊情形。此外有如下定理：定理1 对于任意向量， （15） 证 因 故有 （16） 令，注意到即得式（15）.证毕。按照不同方式规定的范数，其值一般不相同，但在各种范数下考虑向量序列的收敛性时，却表现出明显的一致性，这就是向量范数的等价性。称范数 与等价，如果存在正数，，使对任意向量均有 ， 容易看出，范数的等价关系具有传递性，如果范数与等价，又与等价，则与等价。式（16）表明，任何范数均与等价，因而任何两种p-范数彼此都是等价的。特别地，前述三种常用范数，和彼此等价。 范数的等价性保证了运用具体范数研究收敛性在理论上的合法性。容易看出，向量序列收敛到向量的充要条件是，对于任意给定的，有 ，2 矩阵的范数 对于给定的n阶方阵A，我们将比值的上确界称作矩阵A的范数，记为，即 直接由定义知，对于任意向量x,有 （17） 矩阵范数具有下列基本性质：对任意方阵A， ，当且仅当时。 对任意实数和任意方阵A，有 (3) 对任意两个同阶方阵A和B，有 矩阵范数的这些性质可用向量范数的性质直 接验证。譬如，利用向量范数的三角不等式，有 从而有 附带指出，由于 而，故矩阵范数亦可等价地定义为 我们看到，矩阵范数和向量范数是密切相关的，有什么样的向量范数，相应地就有什么样的矩阵范数。相应于p-范数，今后将记 定理2 对n阶方阵，有 （18） （19） 上述和分别称作矩阵A的行范数和列范数。证 以下仅验证式（18）.式（19）可类似地验证。对于任意，有 因此，当时有 （20） 另一方面，设对于某一下标 有 设计向量，其分量为 则，且 ，从而有 （21）综合式（20）和式（21）即可断定 式（18）得证。