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贵州大学2007-2008学年第二学期考试试卷（标准答案） B 信息安全数学基础 设a,b是任意两个不全为零的整数，证明：若m是任一正整数，则（am,bm）=（a,b）m.(共10分) 解：设 d=(a,b),d=(am,bm),由定理5，存在整数s,t使得 Sa+tb=d 两端同时乘m,得到s(am)+t(bm)=dm因此d|dm.(5分) 又显然有dm|am,dm|bm,所以dm|d.故 d=(am,dm)（5分） 二、设p是素数.证明：如果则 或（共10分） 证明：因为，所以p|(a -b )( a + b ), 如果P不整除（a+b),因为P为素数，所以(P,a+b)=1,有定理可知 (5分）； 同理，如果P不整除（a-b),因为P为素数，所以(P,a-b)=1,有定理可知(5 分 三、求出下列一次同余数的所有解.(共10分) 解：(1)求同余式的解，运用广义欧几里得除法得： x　5( mod 3)　　（5分） 　　　　（2）求同余式的一个特解： 　　　　　　　　　x　5( mod 3)　（4分） 　　　　（3）写出同余式的全部解： 　　　　　　　X5 + 3t( mod 9)　(t=0,1,2)　（1分） 四、求解同余式组：(共15分) 　　　 解：原同余式等价同余式组直接验算， 的解为 的解为 由中国剩余定理，可求得同余式组的解为 ，故原同余式的解为，共6个。 五、求满足方程的所有点. (共10分) 解:对x=0,1,2,3,4,5,6,分别求出y. 六、判断同余式是否有解.（共15分） 解:不用考虑563是否是素数，直接计算雅可比符号，因为 所以原同余式无解 七、求所有素数p使得5为模p二次剩余。（共10分）也是一个奇素数，设a是与p互素的正整数，如果，，则a是模p的原根。（共10分） (mod p) 所以x不存在，即p-1为最小。（3分）