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圆锥曲线新题型选编 　　 　　一、与作图有关的创新题 例1 （1）已知椭圆C的方程是．设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为．证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上． （2）利用（1）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心. 解：（1）设直线l的方程为，与椭圆的交点， 则有解得． ，，即． 则，． 中点的坐标为． 线段的中点在过原点的直线上． （2）如图1，作两条平行直线分别交椭圆于和，并分别取的中点连结直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于和，并分别取的中点，连接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心． 二、与折纸有关的创新题 例2　如图2，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为（注：图中为折痕，点也可落在边上）．过作交于点，求点的轨迹方程． 解：如图3，以边的中点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则． 因为，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分． 设，即定点到定直线的距离为4， 抛物线方程为． 在折叠中，线段长度在区间内变化，而，． 故点的轨迹方程为． 三、与立体几何有关的创新题 例3　如图4，具有公共轴的两个直角坐标平面和所成的二面角等于．已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程． 解：在内，设点是曲线上任意一点（如图5），过点作，垂足为，过作轴．所以是二面角的平面角，依题意． 在中，． 又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则 因为点在曲线上， 所以，即所求射影的方程为上， 所以，即所求射影的方程为． 四、与定义新运算有关的创新题 例4　设．常数，定义运算“”：． （1）若，求动点的轨迹的方程并说明轨迹的形状； （2）设是坐标平面上任一点，定义，，计算，并说明和的几何意义． 解：（1）， 轨迹的方程为， 故轨迹是抛物线位于轴及轴上方的一部分． （2）， ． 分别为点到原点，点到直线的距离．