竞赛辅导张翠杰-1.pptVIP

* 第一讲： 函数、极限和连续 (一）函数 ♀已知某种函数关系，求函数的表达式（1.5+1+2) 设函数 在 上有定义，在区间 上， ，若对任意的 都满足 ， （1）写出 在 表达式； 在 处， 是否可导？ （2）判断 上的 例1：（94年北京市竞赛题） 例2：（91年北京市竞赛题） 设 是可导的函数，对于任意实数 ， ，有 ，且 ， 求 的表达式。 练习：求满足方程 的 表达式，其中 ， 为任意实数，且已知 。 例3： 设 ， 求 ， ， ， 。 ， ♀判断函数具有某些性质：如有界性、周期性、奇 偶性以及单调性(各个的一般性结论) 判断函数 在 内有界：常利用 在 内连续，且 ， 存在，则 有界。 (二）极限 ♀重要的结论 思考题：（06考研） 保号性 ♀求极限的几种重要方法 1、利用极限的四则运算法则 2、利用连续函数的性质 例5：设 在点 处连续，且 ，求 。 3、利用两个重要极限公式 例4：（98北京市竞赛题） 例6： 4、利用等价无穷小代换简化计算（常见的等价无穷小和用法注意） 例8： 例9： （哈工大2届竞赛题） 5、利用洛必达法则（用之前三种方法考虑） 例11：（08考研）求极限 例10：(97考研)求极限 例7：（02考研）设常数 ，则 ____________ 例12：09年全国竞赛题 ，其中 是给定的正整数。 思考题：09年考研题 求极限 例13： 95年北京市竞赛题 6、利用左、右极限（哪些特殊函数用左右极限） 例14： 例15： 7、利用无穷小量的性质 例16： 思考题： 不存在 例17： 8、利用夹逼准则 9、利用单调有界准则 例18：设 为正数，求 思考题： 1.设 则 例19：（06年考研题）设数列 满足 （1）证明： 存在，并求该极限； （2）计算 1 例20： （88北京市竞赛题）设 求证 存在，并求其值 10、利用极限的定义求极限 11、利用泰勒公式（复习公式及展到哪一项的确定） 例21： 练习： 思考题：（国外高校竞赛题） 12、利用拉格朗日中值定理 例22： 例23： 13、利用定积分性质和积分中值定理（略讲） 例24：（93北京市竞赛） 14、利用定积分的定义（略讲） 15、利用函数极限与数列极限的关系求极限 例27： （99年北京市竞赛） 例26：求 例25：求 练习：求 16、利用级数收敛的必要条件（11章）（略） 例28：（00北京市竞赛） ________ ♀利用极限运算进行无穷小量阶的比较 例29：（01考研）设当 时， 是比 高阶无穷小，而 是比 高阶的无穷小，则正整数 等于（ ） 17、要注意变量代换的应用 例30：（97考研）设当 时， 与 为同阶无穷小量，则 为（ ） ♀已知极限，来确定未知的东西（往往利用什么） 例31：（08考研） 已知 连续，且 ，则 __________ 例32：（06考研）试确定 值，使得 其中 是当 时，比 高阶的无穷小。 例33：（01考研）已知 在 内可导，且 ， ，求 的值。 *