大涡模拟SUPG有限元方程的求解.pdfVIP

第十届全国现代结构工程学术研讨会 大涡模拟SUPG有限元方程的求解 于猛1 钱若军2韩向科2 (1．北京市建筑设计研究院，北京100045；2．同济大学建筑工程系，上海200092) 提要： SUP(；有限元法可以有效消除流体域计算时的数值震荡问题，但是其耦合方程系数矩阵常常是奇异的，给求解带来 了困难。对于稳态问题，本文给出了一种求解速度一压力耦合项时用速度场替代压力的方法，并通过算例进行说明。 关键词：SUPG，有限元．求解 一、引言 在用有限元法对流体求解时，由于高对流条件或者插值函数选择不当均会使流体求解产生数值振荡， 不能求得稳定的解，因此选择一种合理的方法来消除这种振荡并求得稳定的解是很有现实意义的。目前处 理的方法主要有流线迎风Pbtrov-Galerkin法(StreamlinePetrov—GalerkinSUPG)、FCBI法以及 Upwind 些年在进行研究。 采用SUPG有限元法时，对流体经过有限元离散后，其控制方程的系数矩阵常常是奇异的，而且若从耦 合方程直接解法求解速度场、压力场，压力和速度同时解出，会导致刚度矩阵势必十分庞大，需要很大的 内存空间来存放，并且在消元过程中元素的寻址运算也会花掉很多时间，这样就大大地降低了计算效率， 于是需要有一种合理的能方便求解的处理方法。本文给出了一种求解速度一压力耦合项时用速度场替代压力 的方法，降低了自由度，方便求解。 二、稳态问题SUPG有限元耦合方程 对于稳态情况粘性不可压大涡模拟SUPG方法，耦合方程为 [J|：俨oJMLP．J=[副 … 阵，七；啪为耗散矩阵，七；啪为压力矩阵。ky为连续矩阵。F啪为体积力向量，∥唧为扩散面积力 向量，y；髫船为亚格子矩阵，f娜为亚格子面积力向量，∥娜为压力面积力向量。 稳态问题耦合方程的求解 对上述稳态问题的耦合方程进行求解，上式系数矩阵是非对称的，而且对角线上的常数为零。Bathenl 认为，当速度和压力采用了适当的插值并指定了适当的边界和初始条件，方程就是可以求解的。Bathe对 工业建筑2010增刊 753 第十届全国现代结构工程学术研讨会 上述方程的求解，提出了一些原则性的意见，认为可以用罚函数法心1来处理。 本文提出的方法和Bathe的方法类似，目的都是求解速度一压力耦合项时用速度场替代压力，避免直接 求解压力自由度，降低了求解有限元模型的整体自由度。方程(1)为奇异方程，所以引进适当的边界条件， 修改该方程，如果对压力项对应的矩阵按边界条件进行修改，则方程(1)可改为如下形式 [三七；仙-IF则．1=Il ㈩ 式中A三A，l似Io，J为一个10×10的单位矩阵，旯为压力矩阵的约束量，对于不可压问题，取五为很小的 值。此时方程(1)已经可以直接求解。但是该方程的自由度较多，刚度矩阵势必十分庞大，需要很大的内 存空间来存放，这样就大大地降低了计算效率，所以应该进一步化简。 展开式(1)，并化简可得 见=-A‘1屯l，。 (4) 于是 b。=c。 (5) 式中丘=6一A一忌y走严。 此时，已经可以求解，且只有速度l，。为未知数，减少了自由度，但是由于左端系数矩阵七是不对称的， 给求解也带来了困难。本文中将F分解为对称部分和不对称部分的方法，使得左端系数矩阵为对称，将不 对称部分移到右端。可以应按照矩阵分解理论，将左端矩阵其分解为对称与不对称部分，用下标瓣示对 称部分，膨眠9俗表示不对称部分，则 b￡一e+kppt=-b嗨刍N一强，t—k．Pp：+ct (6