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第17讲 目 录 CH6 图与网络分析 §6.1 图的基本概念 §6.2 树 §6.3 最短路问题 §6.4 网络最大流问题 §6.5 最小费用流问题 CH6 图与网络分析  §6.1 图的基本概念 §6.2 树 §6.3 最短路问题 §6.4 网络最大流问题 §6.5 最小费用流问题 §6.1 图的基本概念 节点 Vertex 物理实体、事物、概念 一般用 vi 表示 边 Edge 节点间的连线，表示有关系 一般用 eij 表示 图 Graph 节点和边的集合， 一般用 G V,E 表示 点集 V v1,v2,…, vn 边集E eij ●无向图与有向图 边都没有方向的图称为无向图，如图6.1 在无向图中 eij eji，或 vi, vj vj, vi 当边都有方向时，称为有向图，用G V,A 表示 在有向图中，有向边又称为弧，用 aij表示，i, j 的顺序是不能颠倒的，图中弧的方向用箭头标识 图中既有边又有弧，称为混合图 ● 1 端点，关联边，相邻，次 图中可以只有点，而没有边；而有边必有点 若节点vi, vj 之间有一条边 eij，则称 vi, vj 是 eij 的端点 end vertex ，而 eij 是节点 vi, vj 的关联边 incident edge 同一条边的两个端点称为相邻 adjacent 节点，具有共同端点的边称为相邻边 ●2 链，圈，路径，回路 相邻节点的序列 v1? ,v2? ,…, vn? 构成一条链 link ，首尾相连的链称为圈 loop ， 在无向图中，节点不重复出现的链称为路径 path ；在有向图中，节点不重复出现且链中所有弧的方向一致，则称为有向路径 directed path 首尾相连的路径称为回路 circuit ； ● 3 连通图，子图，成分 设有两个图 G1 V1, E1 , G2 V2, E2 , 若V2 ?V1, E2 ?E1， 则 G2 是 G1 的子图 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为连通图 connected graph ，否则为非连通图 discon-nected graph ；非连通图中的每个连通子图称为成分 component 链，圈，路径 简称路 ，回路都是原图的子图 生成子图（支撑子图、部分图） 设有两个图 G1 V1, E1 , G2 V2, E2 , 若V2 V1, E2 ?E1， 则 G2 是 G1 的生成子图 §6.2 树 一个无圈的连通图称为树。 如：在有线通讯网和交通网中，在保证节点连通的条件下，边数最少（可以节省材料和投资）的线路图必然是树，如下图所示 ： 最小部分（支撑）树问题 最小生成树 举例 最小生成树的求解方法: 破圈法、避圈法 方法一 破圈法 任取一个圈，从圈中去掉一条权最大的边。在余下的图中，重复这个步骤，一直到一个不含圈的图为止，这时的图便是最小树。 方法二: 避圈法是一种选边的过程，其步骤如下： 避圈法是一种选边的过程，其步骤如下： 用避圈法解例 例: State大学的校园有5台小型计算机。右图给出了每一对计算机之间的距离 单位为城市街区 。这些计算机通过地下电缆连接起来。所需电线的最短长度是多少？注意，如果没有画出连接一对节点的弧，则意味着（由于存在地下岩层）不能在这两台计算机之间铺设电缆。 §6.3 最短路问题 ●最短（通）路问题是最重要的优化问题之一。 ●常见的问题，例如各种管道的铺设、线路的安排、厂区的布局、设备的更新及运输网络的最小费用流等。 ●最短距离、运价最小、运行时间最短、最可靠路等。 §6.3 最短路问题 一、 Dijkstra算法 （从某一点到其它点的最短路问题） 二、 逐次逼近算法 （有负权边的从某一点到其它点的最短路问题） 三、Floyd算法 （任意两点间的最短距离） §6.3 最短路问题 一、 从某一点到其它点的最短路 Dijkstra算法的基本思想：若 vs,v1,…,vk 是从vs到vk的最短路，则 vs,v1,…,vi 是从vs到vi的最短路。 用标号法解上例 求Vs到v1的最短 例3 §6.3 最短路问题 一、 Dijkstra算法 （从某一点到其它点的最短路问题） 二、 逐次逼近算法 （有负权边的从某一点到其它点的最短路问题） 三、Floyd算法 （任意两点间的最短距离） 二、逐次逼近算法 求一点到另一点最短路径的方法（权值为负） §6.3 最短路问题 一、 Dijkstra算法 （从某一点到其它点的最短路问题） 二、 逐次逼近算法 （有负权边的从某一点到其它点的最短路问题） 三、Floyd算法 （任意两