复变函数与积分变换期末总复习.pptVIP

第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 3.初等解析函数 2 三角函数 典型例题 第三章 复变函数的积分 积分存在的条件及计算 4. 积分的性质 闭路变形原理 柯西积分公式 高阶导数公式 调和函数和共轭调和函数 共轭调和函数 典型例题 例6 计算下列积分 例8 已知 求解析函数 ,使符合条件 第四章 级 数 常见函数的泰勒展开式 将函数展为洛朗级数的方法 典型例题 第五章 留 数 孤立奇点的概念与分类 i 可去奇点 iii 本性奇点 3 函数的零点与极点的关系 2. 留数 2 留数的计算方法 3 无穷远点的留数 定理 在无穷远点处留数的计算 典型例题 积分变换 例10 解 例11 解 有 同一级数在不同圆环域内的洛朗级数展开式是不同的. 解 例12 1、孤立奇点的判别 2、留数的计算与留数定理 1）定义 如果函数 在 不解析, 但 在 的某一去心邻域 内处处解析, 则称 为 的孤立奇点. 孤立奇点 奇点 2）孤立奇点的分类 依据 在其孤立奇点 的去心邻域 内的洛朗级数的情况分为三类: i 可去奇点; ii 极点; iii 本性奇点. 定义 如果洛朗级数中不含 的负幂项, 那末 孤立奇点 称为 的可去奇点. ii 极点 定义 如果洛朗级数中只有有限多个 的 负幂项, 其中关于 的最高幂为 即 级极点. 那末孤立奇点 称为函数 的 或写成 极点的判定方法 在点 的某去心邻域内 其中 在 的邻域内解析, 且 的负幂项为有 的洛朗展开式中含有 限项. a 由定义判别 b 由定义的等价形式判别 c 利用极限 判断 . 如果洛朗级数中含有无穷多个 那末孤立奇点 称为 的本性奇点. 的负幂项, 注意: 在本性奇点的邻域内 不存在且不 为 i 零点的定义 不恒等于零的解析函数 如果 能表示成 其中 在 解析且 m为某一正整数, 那末 称为 的 m 级零点. ii 零点与极点的关系 如果 是 的 m 级极点, 那末 就是 的 m 级零点. 反过来也成立. 记作 定义 如果 的一个孤立奇点, 则沿 内包含 的 任意一条简单闭曲线 C 的积分 的值除 后所得的数称为 以 1 留数定理 设函数 在区域 D内除有限个孤 外处处解析, C 是 D内包围诸奇 点的一条正向简单闭曲线, 那末 立奇点 留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数 在C内各孤立奇点处的留数. 1 如果 为 的可去奇点, 则 如果 为 的一级极点, 那末 a 2 如果 为 的本性奇点, 则需将 成洛朗级数求 展开 3 如果 为 的极点, 则有如下计算规则 c 设 及 在 如果 那末 为一级极点, 且有 都解析， 如果 为 的 级极点, 那末 b 也可定义为 记作 1.定义 设函数 在圆环域 内解析 C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线 那末积分 值为 在 的留数. 的值与C无关 , 则称此定 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值. 任何在 D 内解析的函数,它的实部和虚部都是 D 内的调和函数. 定理 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数. 例1 计算 的值，其中C为 1）沿从 到 的线段： 2）沿从 到 的线段： 与从 到 的线段 所接成的折线. 解 说明 同一函数沿不同路径所得积分值不同. 解 分以下四种情况讨论： 解 为大于1的自然数. 解法一 不定积分法. 利用柯西—黎曼方程, 因而得到解析函数 解 1、复数列、复级数收敛充要条件 2、幂级数收敛半径求法 3、函数展开成泰勒级数与洛朗级数 根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可 用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 . 2 间接展开法 1 直接展开法 例1 判别级数的敛散性. 解 发散， 收敛， 典型例题 例1 判别级数的敛散性. 解 解 收敛 收敛 典型例题 例1 判别级数的敛散性. 解 由正项级数的比