高中数学必修1“圆的方程”经典教案.docVIP

圆的标准方程 课标要求 学习目标 1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程。 2．会根据不同的已知条件，利用坐标法、数形结合这一数学思想以及转化与化归思想求出圆的标准方程． 3．培养学生细心的学习习惯、认真的学习态度，激发学生学习数学的兴趣． 1．会推导圆的标准方使学生掌握圆的标准方程的特点能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径之后，用“曲线与方程”的思想解释坐标满足方程的点一定在曲线上。即若点M在圆上，由上述结论可知，点M的坐标适合方程；反之，若N的坐标适合方程，说明点N与圆心A的距离为r。 3．对于圆的标准方程，应强调其圆心为C(a,b)，半径为r，注意方程中的减号。 4．提出坐标法的思想，即根据给出的圆心坐标以及半径写出圆的方程——从几何到代数；根据坐标是否满足方程，来认识所对应的几何对象之间的关系——从代数到几何。 5．在引导学生列关于a、b、r的方程或方程组时，要注意联系平面几何的知识，尤其是其中的一些直角三角形、垂弦定理。 学习策略 1．在本节的学习中，要注意圆的标准方程，通过两点间的距离公式理解和记忆，且通过圆的标准方程可以直接得到圆心和半径、通过圆心和半径可以直接得到圆的标准方程。 2．在掌握了标准方程之后，要能从“是”、“否”两个方面来判断点与方程的关系， 3．要注意数形结合思想及方程思想的运用。 4．求标准方程常用待定系数法，根据题目的条件列出关于a、b、r的方程或方程组。 情景创设 同学们，你们做过摩天轮世界上最巨大的摩天轮是座落泰晤士河畔的英航伦敦眼，距地总高达135公尺．然而，由伦敦眼属观景摩天轮结构，有些人认为其在排行上应该与重力式摩天轮分开来计算因此目前世界最大的重力式摩天轮应位日本福冈的天空之梦福冈，直径112公尺，离地总高120公尺的摩天轮(轨迹)叫做圆，定点就是圆心，定长就是半径． 议一议：确定圆需要哪些条件？ 一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来了. 探究：如图4-1-1-1，设圆心是C(a,b)，半径为r，设P(x,y) 是圆上任意一点，则CP=r，由两点间的距离公式 得，即得圆的标准方程： 其中圆心为C(a,b)，半径为r． 提升总结：圆心为C(a,b)，半径为r的圆的标准方程为。 温馨提示：(1)如果圆心在坐标原点，此时a=b=0，圆的方程为． (2)圆的标准方程 圆心为C(a,b)，半径为r，这呈现了圆的几何特征. 例1求满足下列条件的各圆的方程： (1)圆心在原点，半径是； (2)圆心在点C(8,8)，半径是2008； (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,). 分析：根据圆心和半径直接代入标准方程。 解：(1) ；(2) ； (3) 方法一：∵圆的半径，圆心在点C(8,)， ∴圆的方程是. 方法二：∵圆心为C(8,)，故设圆的方程为， 又∵点P(5,1)在圆上，∴，∴。 ∴所求圆的方程是. 点拨：确定圆的标准方程只需要确定圆心的坐标和圆的半径即可，因此圆心和半径被称为圆的两要素。 例2 写出下列方程表示的圆的圆心和半径． (1)； (2)()； (3)(). 分析：搞清圆的标准方程()中，圆心为()，半径为，本题易于解决． 解：(1)圆心(0,0)，半径为； (2)圆心(3,0)，半径为； (3)圆心()，半径为. 点拨：(2)、(3)两题仅为半径的平方，没有给定，所以半径. 探究二 如何确定点与圆的位置关系？ 在平面直角坐标系中，圆一旦确定，该平面内的任何一点与圆的位置关系都确定下来．那么该如何确定呢？ 想一想：初中学习圆的内容时，点与圆的位置关系有哪些？ 点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 议一议：如何通过距离进行比较呢？ 其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系．dr时点在圆内；d=r时点在圆上；dr时点在圆外． 议一议：如何通过方程进行比较呢？ 探究：以圆为例，在圆上的点都满足． 数形结合易知点都在圆的内部，它们都满足、、．事实上若点在圆的内部，过点作轴的垂线，交圆于，显然有且，从而有．也就是说圆的内部的点都满足． 数形结合易知点都在圆的外部，它们都满足、、．事实上若点在圆的外部，过点作轴或轴的垂线，(1)若与圆有交点，则同理可得，(2)若均与圆无交点，则，从而也有．也就是说圆的外部的点都满足． 将圆替换为，结论同样成立． 提升总结： 点在圆上等价于； 点在圆内部等价于； 点在圆外部等价于． 温馨提示：点与圆的位置关系的比较有以上两种方法，几何法与代数法。 例3 写出以点A(2,)为圆心，5为半径的圆的标准方程，并判断点M(5,)，N(2,)，P(10,)与该圆的位置关系． 分析：先求出圆的标准方程，然后再判断。 解：圆的标准方程为.