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第五章 定积分的概念 教学目的与要求： 1．解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼 茨公式。 2 ．解广义积分的概念并会计算广义积分。 3 ．掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、 平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立 体体积、变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。 5.1 定积分概念 一． 定积分的定义 不考虑上述二例的几何意义，下面从数学的角度来定义定积分 定义 设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点 ， 把区间[a,b]分成 n 个小区间 ，记 Δx x − x ,i 1,2,n,λ max{Δx , Δx ,, Δx }在 i i i−1 1 2 n n [x ,x ]上任意取一点ξ ，作和式：∑f (ξ )Δx (1) i−1 i i i i i 1 如果无论[a,b]作怎样分割，也无论ξ 在[x ,x ]怎样选取，只要 i i−1 i n λ → 0 有∑f (ξ )Δx → I （I 为一个确定的常数），则称极限 I 是 i i i 1 b b f(x)在[a,b]上的定积分，简称积分，记做∫ f (x)dx 即 I ∫ f (x)dx 其 a a 第-35 –页 中 f(x)为被积函数，f(x)dx 为积分表达式，a 为积分下限，b 为积分 上限，x 称为积分变量，[a,b]称为积分区间。 注 1．定积分还可以用ε − δ 语言定义 b T 2 2 由此定义，以上二例的结果可以表示为 A ∫ f (x )dx 和 S ∫ v(t)dt a T 1 b 3 有定义知道∫ f (x )dx 表示一个具体的书，与函数 f(x)以及区间[a,b] a b b b 有关，而与积分变量 x无关，即∫ f (x )dx ∫ f (u)du ∫ f (t)dt a a a 4 定义中的λ → 0 不能用n → ∞ 代替