高考专题——立体几何.doc

第一课时 平面和空间直线 一、知识梳理： （一）平面： 1、平面的两个特征：①无限延展 ②平的（没有厚度） 2、平面的画法：通常画平行四边形来表示平面 (1)一个平面：水平放置和直立； 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角画成45，横边画成邻边的2倍长，如图1（1）. (2) 直线与平面相交，如图1（2）、（3），： （3）两个相交平面： 画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如图2）。 3、平面的表示： （1）用一个小写的希腊字母、、等表示，如平面、平面； （2）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC(图1（1）). （二） 直线在平面内的依据（公理1） 有关概念：所谓直线在平面内，即指直线上的所有点都在平面内；若点A在直线a上，记做A∈a，若点A在直线a外，记做A(a；若点A在平面α上（外），记作A∈α（A(α）；若直线a在平面α内，记做a(α，若直线a不在平面α内，记做a(α.这里的“(、(”借用了集合的符号，其含义仍然与集合符号的意义一致. 图形 符号语言 文字语言（读法） 点在直线上 点不在直线上 点在平面内 点不在平面内 直线、交于点 直线在平面内 直线与平面无公共点 直线与平面交于点 平面、相交于直线 2、公理一：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内. ⅰ）说明：此时即直线在平面内，或者说平面经过直线.公理一是判定直线在平面内的依据. ⅱ）公理1的含义如图3所示，可用符号表示为 A,B,A,B ⅲ)以“直线在平面内”的意义为依据，常用下面的推理 判定“点在平面内”： A， 简言之：点在线上，线在面内，则点在面内. (三) 两个平面相交的依据（在本章中，没有特别说明的“两个平面”，都是指不重合的两个平面）： 1、一条直线既在平面α内，又在平面β内，即α和β有一条公共的直线，则称α与β相交，交线是，记做α∩β=. 2、公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 例如：房间里墙角处的那个点是相邻两面墙的公共点，这两面墙还有其他公共点，这些公共点的集合就是这两面墙的公共直线. 3、“公理二”的说明： ⅰ）若两个平面有一个公共点，则必定还有第二个、第三个……，必有无限多个公共点，所有这些公共点都在同一条直线上，反之，该直线上的每一点都是两个平面的公共点。因此，两平面若有公共点，则必有公共直线。 ⅱ）两平面若相交，则有且只有一条交线。 ⅲ）公理2的含义如图4所示，可用符号表示为： ⅳ) 以“两个平面相交”的意义为依据，常用下面的推 理判定“点在直线上”： A,A,且∩=A 公理3:经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 应用：①确定平面；②证明两个平面重合 “有且只有一个”的含义分两部分理解，“有”说明图形存在，但不唯一，“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个”既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性．在数学语言的叙述中，“确定一个”，“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 推论一:经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论二:经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论三:经过两条平行直线,有且只有一个平面. 作用:用来确定平面的依据.相交直线和平行直线也称为共面直线． 异面直线的画法常用的有种 2. 平行直线： 在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 如图 3.等角定理 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等． 已知：∠BACB′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，并且方向相同． 求证：∠BACB′A′C′． （八）推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等． （九）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式：与a是异面直线 证明 ：（反证法）假设 直线与a共面， ∵，∴点和a确定的平面为， ∴直线与a共面于，∴，与矛盾， 所以，与a是异面直线．） （）异面直线所成的角 a、b是异面直线，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则