建模方法,常用的预测问题和传染病的分析,微积分的现实应用.pptVIP

数学建模讲义 * * 主讲人:黄利国 滨州学院数学系 Email:liguoh123@ 第三讲 微分方程模型 动态模型 描述对象特征随时间(空间)的演变过程 分析对象特征的变化规律 预报对象特征的未来性态 研究控制对象特征的手段 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 主要内容 生物单种群增长模型 3.1 人口增长模型 3.2 传染病模型 生物多种群增长模型 3.3 正规战与游击战 3.4 捕食系统的Volterra方程 为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。 美丽的大自然 种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。 离散化为连续，方便研究 3.1 如何预报人口的增长 --Malthus模型与Logistic模型 背景： 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 世界人口增长概况 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长 常用的计算公式 今年人口 x0, 年增长率 r， k年后人口 指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798) x(t) :时刻t的人口，则某段时间内人口的增长数目 基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数,不考虑移民 随着时间增加，人口按指数规律无限增长 写微分方程的形式为 求积分，结果为： 模型检验 比较历年的人口统计资料，可发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符，例如，1961年世界人口数为30.6 （即3.06×109），人口增长率约为2%，人口数大约每35年增加一倍。检查1700年至1961的260年人口实际数量，发现两者几乎完全一致，且按马氏模型计算，人口数量每34.6年增加一倍，两者也几乎相同。 模型预测 假如人口数真能保持每34.6年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到2510年，人口达2×1014个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平方英尺的活动范围，而到2670年，人口达36×1015个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了。 故马尔萨斯模型是不完善的。 几何级数的增长 Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。 所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。 指数增长模型的应用及局限性 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代 可用于短期人口增长预测 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 不能预测较长期的人口增长过程 19世纪后人口数据 人口增长率r不是常数(逐渐下降) 阻滞增长模型(Logistic模型) 人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 r是x的减函数 假设 r~固有增长率 (x很小时) xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量） dx/dt x 0 xm xm/2 xm t x 0 x(t)~S形曲线, x增加先快后慢 x0 xm/2 参数估计 用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报， 必须先估计模型参数 r 或 r, xm 利用统计数据用最小二乘法作拟合 例：美国人口数据（单位~百万） 1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 1990 31.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5