高考第一轮复习——等比数列、数列求和(理).doc

年 级 高三 学 科 数学（理） 版 本 人教版（理） 内容标题 高三第一轮复习：等比数列、数列求和 编稿老师 刘震 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 等比数列、数列求和 二. 重点、难点： 1. 理解等比数列的有关概念；掌握等比数列的通项公式和前项和公式，并能运用这些知识解决一些简单的实际问题。 2. 通过观察数列通项公式的特点选择合适的方法，求数列的前项和。 【典型例题】 [例1] 在等比数列中，，，求和。 解：因是等比数列，故，结合，可知是方程的两根，解方程，得 故，或 当时，，得 又因为，，故 当，时， 得 又因为 综上所述，，公比或 [例2] 已知数列为等差数列，公差，的部分项组成下列数列：，恰为等比数列，其中，，求 解：设的首项为 ∵ 成等比数列 ∴ 得， ∵ ，又 ∴ ∴ [例3] 设为等差数列，为等比数列，，，，分别求出，的前10项的和。 解：由为等差数列，为等比数列 ∴ ， 由已知，得 ∴ ∵ ∴ ∴ 由知的公差为 由知 或 ∴ 或 [例4] 设等比数列的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列的前多少项和最大？（，） 解：方法一：设公比为，项数为，，依题意有 化简得解得 设数列前项和为，则 可见，当时，最大 而， 故的前5项和最大 方法二：接前，于是 ∴ 数列是以为首项，以为公差的等差数列，令，得 ∴ 由于 ∴ 的前5项和最大 [例5] 求数列的前项和：，… 解：设 当时， 当时， [例6] 在数列中，，又，求数列的前项的和。 解：∵ ∴ ∴ 数列的前项和 [例7]求 的值。 解：设 ① 将①式右边反序得 ② 又 ∵ ①+②得 ∴ [例8] 已知数列满足 ，是首项为1，公比为的等比数列。 （1）求的表达式； （2）如果，求的前项和 解： （1），当时， ∴ 因而 （2） ∴ 令 ① 则 ② ①－②得 故 又1+3+5+…+ ∴ [例9] 已知数列的前项和为，且满足（），。 （1）求证：是等差数列； （2）求的表达式； （3）若时，求证： 解： （1）证明：∵ ∴ （） ∴ 又 ∴ 是以2为首项，2为公差的等差数列 （2）由（1） ∴ 当时，[或时，] 当时， ∴ （3）证明：由（2）知， ∴ 【模拟试题】（答题时间：40分钟） 一. 选择题： 1. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（ ） A. 33 B. 72 C. 84 D. 189 2. 若等比数列的公比，前项和为，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 不确定 3. 已知数列满足，（），则当时，等于（ ） A. B. C. D. 4. 在数列中，若，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 化简（）的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 数列的前项和为，则等于（ ） A. 1003 B. C. 2006 D. 7. 等于（ ） A. B. C. D. 或 8. 某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二. 解答题： 1. 等比数列的各项均为正数，其前项中，数值最大的一项是54，若该数列的前项之和为，且=80，，求： （1）前100项之和； （2）通项公式。 2. 已知数列1，，，…，（），求数列的前项和。 3. 已知 （1）当时，求数列的前项和； （2）求 4. 设数列是公差为，且首项为的等差数列，求和： 【试题答案】 一. 1. C 解析：∵ ， ∴ 或（舍） 而 2. A 解析：由等比数列通项公式和前项和公式得 又， 则， 即 3. C 解析：由已知且 得到，，， 由此猜想出 4. D 解析：由，得（），当时，不适合，所以 5. B 解析：∵ ∴ 6. A 解析：（共1003个）=1003 7. D 解析：原式 8. B 解析：设平均增长率为，则第三年产量为，所以应该有 即 ∴ 从而 二. 1. 解：设公比为 ∵ ∴ ，则最大