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高等数学上考研例题精讲 (18 ) (18 ) 第一讲 函数 极限 连续((1188题)) 课堂例题参考答案 例1 已知 f(ln x) = x+1，求 f(x) 的表达式。 t t x 【解析】 令t= ln x，所以x= e ，故 f(t) = e +1 ，所以 f(x) = e + 1 。 例2 判断下列函数的奇偶性（1） 2 ；（2） 2 。 f(x) = ln(x+ 1+ x ) g(x) = x sin x 【解析】略 例3 设实数 ，函数 对任意实数 ，有 ， a b f(x) x f(a− x) = f(a+ x), f(b− x) = f(b+ x) 证明： f(x) 是以2b− 2a为周期的周期函数。 证明： f(2b− 2a+ x) = f(b+ b− 2a+ x) = f(b− b+ 2a− x) = f(2a− x) = f(a+ a− x) = f(a− a+ x) = f(x). 1 例4考查函数y= 分别在I = [1, 2]，I = (0,1) 上的有界性 (P2) 1 2 x 答：前者是闭区间上的连续函数，肯定有界；后者无界. 2 例5考查函数y= x 分别在I = (−∞, +∞) ，I = (0, +∞) 上的单调性(P2) 1 2 2 解：函数y= x 在I = (−∞, +∞) 上不单调，但在I = (0, +∞) 上单调递增. 1 2 例6y= ln(sin x+ tan x) 拆成多个函数的复合(P3) 答：y= u, u= ln(s+ t), s= sin x,t= tan x. 1 例7用定义证明：lim = 0 n→∞ n 【解析】略 1+ x 例8 f(x) = lim 2n ，求lim f(x) 和lim f(x) (P6) n→∞ 1+ x x→1 x→−1 ⎧1+ x, x 1 ⎪ ⎪1+ x 【解析】 f(x) = ⎨ , x = 1 ⎪ 2 ⎪0, x 1 ⎩ 1 lim f(x) = 0, lim f(x) = lim 1+ x = 2.故lim f(x) 不存在； + − − ( ) x→1 x→1 x→1 x→1 lim f(x) = lim 1+ x = 0 = lim f(x) = 0. 故lim f(x) = 0. + + ( ) − x→−1 x→−1 x→−1