《费马猜想“美妙证明”及相关问题研究 王德忱 著》.doc

——————————————————————————————————— 目 录 费马猜想及其“美妙证明”的重大意义…………………………………………1 王德忱数学研究及费马猜想证明历程…………………………………………4 “方根（重根）余约数”唯一性定理证明费马猜想…………………6 “猜想”的费马猜想及其证明 …………………………………………………1费马猜想证明三步重要性质 ………………………………………………… 2论费马猜想“不定方程”与“一般方程”的双重性质…………………………… 2关于实数z = r变形同次问题 ……………………………………………… 3费马猜想“美妙证明”：n = 3、4释例………………………………………… 3无穷递降法及费马猜想n = 4的证明 …………………………………………用“勾股定理”及“勾股弦数”不能证明费马猜想……………………………… 4 费马（1601 – 1665年），法国数学家，职业律师，后来为议会议员。他博览群书，精通数国文字，掌握多门自然科学近三十岁时钻研数学，成果累累，在数论、解析几何学、概率论等方面都有重大贡献，被誉为“业余数学家之王”。他提出了许多数学定理，尤其是“费马猜想”是最著名的难题之一。 费马猜想：又称费马大定理即正整数n＞2时zn = xn + yn没有正整数zxy ≠ 0则这个方程等式不成立。 勾股定理的正整数解称为“勾股弦数”，在大约公元前1900年到公元前l600年之间古巴比伦人就掌握了多组勾股弦数，公元前12世纪我国《周髀算经》也提出“勾三股四弦五”。古希腊数学家丢番图（330－246年）给出了勾股定理a2 + b2 = c2基本勾股弦数组解公式：a = 2mnb = m2- n2、c = m2 + n2。于是数学家们要找到a3 + b3 = c3的正整数解，乃至要找到an + bn = cn的正整数解1637年，费马在巴契校订的希腊数学家丢番图的《算术》第2卷第8命题“把一个平方数分为两个平方数”旁边写道：“把一个立方数分为两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或一般地把一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是不可能的。关于这一点，我确信已发现了一种美妙的证法，可惜这里空白的地方太小，写不下”。美妙的证法经30多年许多优秀数学家艰苦不屑的努力成千上万数学爱好者的痴劳寻觅都没能就成了数学史上一个最深奥的谜。 为推进费马猜想的证明，布鲁塞尔和巴黎科学院数次设奖，1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克（当时值200万美元）期限定为100年（至2007年）征求对费马猜想的证明。仅1909 –1911年三年间发表错误的证明论文就多达1,000余篇，由此数学刊物不再审理这方面投稿。后来便形成一个约定，费马猜想的证明，必须有世界至少5个著名数学家推荐。 30多年中，不少数学家试图证明或否定费马猜想。 1676年，数学家们根据费马的少量提示用“无穷递降法”证明了n＝4时的情形，这一证法被公认为是费马自己的证明。1678年德国数学家莱布尼兹证明了n＝4时费马猜想成立。1738年瑞士数学家欧拉也给出了n＝4的证明。 1770年，欧拉证明了n=3的情形，用的是唯一因子分解定理。 1823年和1825年，法国数学家勒让德和德国数学家狄利克雷先后证明了n＝5。 1832年，狄利克雷试图证明n＝7，却只证明了n＝14。1839年法国数学家拉梅证明了n = 7，随后得到法国数学家勒贝格的简化。 1857年，德国数学家库麦尔因第一次对一大批指数n证明了费马猜想成立，是19世纪贡献最大的，获得巴黎科学院的金质奖章。他从1844年起花费20多年时间，创立了理想数论，证明当n＜100时除37、59、67三数外所有奇素数费马猜想成立。 1901年，德国数学家林德曼发表了一篇17页的论文，但他的证明很快被人们指出了错误。他在1882年成功地证明了π是超越数，从而彻底解决了困惑数学家2000多年的“化圆为方”问题。此后林德曼信心大增，夸口要解决费马猜想。1907年他又发表了一篇长达63页的证明，后又被推翻。 1926年，美国数学家范狄维尓证明了当n＜211的奇素数时费马猜想成立。此后证明奇素数n的值不断扩大：1954年n＜2521、1955年n＜4001、…… 希尔伯特，这一国际数学界当时领袖人物也研究过，但没有进展。他说：“费马猜想是一只会下金蛋的鸡”，因为研究费马猜想促进了数学的发展。法国数学家勒贝格提交了一个证明，但因有漏洞被否决。世界著名数学家高斯、柯西、阿贝尔等等都付出了极大的努力研究费马猜想，但没有结果。 1955年，日本数学家谷山丰猜测及韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山–志村猜想”，这个猜想使费马猜想的证明向前迈进了一步。 1976年，德国数学家瓦格斯塔夫用大