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基于QR分解求解线性方程组初探 摘 要: 本文探讨了基于QR分解求解线性方程组的方法，并通过例题进行了具体的分析。主要介绍了Schmidt正交化方法、Householder变换方法和Givens变换方法。 关 键 词: 线性方程组; QR 分解；Schmidt正交化方法；Givens变换；Householder变换； 线性方程组在实际问题的求解过程中经常遇到,一般情况下没有实用有效的求解方法。与现有的LU分解和一些迭代方法不同, 基于实际很少采用的矩阵QR 分解方法, 利用其对各类矩阵普遍适用的优点提出并探讨了将QR分解运用于求解线性方程组。 引理： 1.对任意，若存在n阶正交矩阵Q 和n阶上三角矩阵R ，使得A = QR ，则称QR为A的QR分解。 2．若可逆，则存在正交矩阵 Q 和正对角元的上三角矩阵 R ，使得A =QR ，且表示式唯一。 一、Schmidt正交化方法 首先，利用Schmidt正交化方法求可逆矩阵A的QR分解： 设A是一个实满秩矩阵, A的n个列向量为由于线性无关，将它们用Schmidt正交化方法得标准正交向量 其中， i=1，2，…，n 从而有 、 然后，求解线性方程组Ax=b的解： Ax=b 例1 利用Schmidt正交化方法求矩阵QR分解的方法求解线性方程组Ax=b,其中 解：设 则线性无关 首先将它们正交化得： 再单位化： 于是 从而 所以 二、Givens 变换方法 1．定义 ：设实数c 和 s 满足 =1，则称 n 阶矩阵 为Givens矩阵（旋转阵）。 2．性质 性质1 i）. ii) . iii） 性质2 Givens变换只改变x的第i个和第j个分量。 性质3 设, 则存在有限个Givens矩阵的乘积T，使得。 性质4 设（n1），且，则存在有限个Givens矩阵的乘积T，使得。 定理1 设可逆，则存在有限个Givens矩阵的乘积T,使得TA为可逆上三角矩阵。 首先，利用Givens矩阵求矩阵A的QR分解： 先将矩阵A按列分块， ① 对于 存在一组Givens矩阵 使得 于是 ② 将矩阵 按列分块 又存在一组Givens矩阵 使得 因此 依次进行下去，得到 ③ 令 则 然后，求解线性方程组Ax=b的解： Ax=b 说明：利用Givens矩阵进行QR分解，需要作 个初等旋转矩阵的连乘积，当n较 大时，计算量较大，因此常用镜像变换来进行QR分解。 例2 利用Givens变换求矩阵QR分解的方法求解线性方程组Ax=b，其中 解 对于A的第1列,构造,其中 于是可得 对于的第1列,构造,其中 于是可得 最后，令 则有 则 所以 三、Househoulder变换方法 1.定义：设u是实的单位列向量，称阶n矩阵为Householder矩阵（初等反射矩阵），Householder变换又称为反射变换或镜像变换。 2.性质： 性质1 。 性质 2 设（n1），且，则存在Householder矩阵，使得。 性质 3 对任意的Givens矩阵，都存在两个Householder矩阵和，使得。 定理2 设可逆，则存在有限个Householder矩阵的乘积S，使得SA为可逆上三角矩阵。 首先，利用Householder矩阵求矩阵A的QR分解如下： ① 将矩阵A按列分块 ，取