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[0044]《线性代数》 第一次作业 [论述题]线性代数模拟试题一??参考答案：线性代数模拟试题一参考答案一、填空题 1、? 2、 3、4、5、二、单选题 1— 三、判断题 1—√√√√× 四 Solution根据，得，所以. 由于，因此, 故 . 五、令，则，于是 . 六、由于线性无关，, 所以R(A) = 3, 因此Ax = 0的基础解系中只有一个解向量由,，得，因而是Ax = 0的基础解系. 又因为，所以是Ax = 的Ax = b的通解为, 其中k为任意常数. 七、，于是 因此. 又因为A ( 0，所以， 所以八、 . (1) 当时，，方程组有唯一解当时，增广矩阵为，方程组有无穷多解，解为，为任意常数当时，增广矩阵为，原线性方程组无解 第二次作业 [论述题] 线性代数模拟试题二 ??参考答案：线性代数模拟试题二参考答案一、填空题 1. 2. . 3. . 4. -4. 5. 0. 二、单选题 —5: DDCBA 三、判断题 —5: × √??√??√??√? 四、显然|A| = 1 ( 0，于是A可逆，因为，所以，两边左乘，得由于 所以，进而 五、若，则，所以是的特征值六、，为一个极大无关组，，七、， 时，解方程组，得为对应特征向量，其中为任意常数. 当时，解方程组，得为对应特征向量，其中为任意常数. 八、 (1) 当且时，方程组有惟一解当时 原线性方程组无解当时原线性方程组解当时, 这时方程组只有零解当时，这时方程组有无穷多解 第三次作业 [论述题]线性代数模拟试题三??参考答案：线性代数模拟试题三参考答案2. 2. . a = 0, b = . -2. 二、单项选择题 1—5：ACBDA 三、1—5: ××√√√?? 四、Solution . 五、Solution 因为, 所以A可逆. 由于, 根据，有，进而. 于是，因而. 由于，所以. 六、Solution 由于 于是R(A) = R(B) = 3. 又因为n = 5，对应的齐次方程组的基础解系含5-3 = 2个解向量，可分别取为. 而原线性方程组的特解可取为，因此，原线性方程组的通解为 (为任意常数). 七、Solution 由于A与B相似，于是，由此可得出x = 2，进而A的特征值为0, 3, 2. 当时，A对应的特征向量为。 当时，A对应的特征向量为。 当时，A对应的特征向量为。 取，有. 八、 1. Proof 假设线性相关，则存在不全为0的数，使得, 可证k ( 0,否则线性相关，矛盾. 由于k ( 0, 因此，又因为向量可由向量组线性表示, 而向量不能由向量组线性表示，与已知条件向量不能由向量组线性表示矛盾. 所以线性无关. 2. Proof (1) 设A为n阶可逆矩阵, A的n个特征为，，…, 则有, 故A无特征0. (2) 设x为属于特征的特征向量, 则有Ax =x, ,. 由(1)知，，于是, 即是的一个特征. 第四次作业 [论述题]线性代数模拟试题四??参考答案：线性代数模拟试题四参考答案1. . 2. 3. 3. . 4. -1. 5. . 二、单选题 1—5：CCBAB 三、判断题 1—5：((((((10分)Solution 将所给行列式按第1行展开，有 . 五、Solution 由得 (A-3E)X=A. 由于且 ，于是, 所以 . 六、?Solution 对线性方程组的增广矩阵B进行初等行变换: 只有在时，R(A) = R(B), 原线性方程组有解, 其通解为 . 七、Solution 该二次型的矩阵，要使f为正定的，必须, 所以. 八、1． Proof (() 因为A, B是同阶对称矩阵，AB为对称矩阵, AB = (AB)T = B TA T = BA. (() 因为A, B是同阶对称矩阵，A与B可交换, 则 AB = BA = B TA T = (AB) T. 2．Proof是n阶可逆矩阵A的一个特征值, 是的一个特征值. 第五次作业 [论述题]线性代数模拟试题五??参考答案：线性代数模拟试题五参考答案 1.. 2.. 3. 24. 4. -8. 5.. 二、单项选择题 1(A). 2(A) . 3(C) . 4(B) . 5(D) . 三、判断题1.( (). 2((). 3((). 4((). (5) ((). 四、Solution 因为，右乘A得到,进而,于是. 由于,因此，故 . 五、Solution 对增广矩阵施行初等行变换化为 . 显然R(A) ≥2，要使原线性方程组有无穷多个解，必须满足R(A) = R(B) = 2, 进而a = -1, b = 0.