不定积分.ppt

问题: 定理 2. 不定积分的几何意义: 二、 基本积分表 例1. 求 三、不定积分的性质 例3. 求 例4. 求 1 第一类换元法 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例7. 求 例9. 求 例10. 求 解法 2 例11. 求 例12 . 求 课堂练习 定理2 . 设 例14. 求 例15. 求 小结: 2. 常用基本积分公式的补充 例17. 求 例19. 求 例1. 求 例2. 求 例3. 求 例4. 求 例5. 求 例7. 求 解法1 解法2 两法结果一样 解法1 同样可证 解: 原式 解: 1.下列各题求积方法有何不同? 2. 求下列不定积分： 2 . 第二类换元法 第一类换元法解决的问题 难求 易求 若所求积分 易求, 则得第二类换元积分法 . 难求， 是单调可导函数 , 且 具有原函数 , 则有换元公式 例13. 求 解: 令 则 ∴ 原式 （无理代换） 解: 令 则 ∴ 原式 （三角代换） 解: 令 则 ∴ 原式 （三角代换） 例16. 求 解: 令 则 原式 （倒代换） 1. 第二类换元法常见类型: 令 令 令 令 令 无理代换 三角代换 7 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换 令 解: 原式 例18. 求 解: 解: 原式 例20. 求 解: 原式 由导数公式 积分得: 分部积分公式 或 1 v 容易求得 ; 容易计算 . 3 .分部积分法 解: 令 则 ∴ 原式 思考: 如何求 提示: 令 则 原式 解: 令 则 原式 解: 令 则 原式 解: 令 则 ∴ 原式 * * 第四讲 不定积分 一、不定积分的概念与性质 二、不定积分的求法 2. 基本积分表 3. 不定积分的性质 1. 原函数与不定积分的概念 一、不定积分的概念与性质 1. 原函数与不定积分的概念 定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F x 及 f x 满足 在区间 I 上的一个原函数 . 则称 F x 为f x 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本问题是:已知一个函数，求它的导数. 但是，在许多实际问题中往往会遇到反问题：已知一个函数的导数，求原来的函数. 由此产生了积分学. 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ? 定理1. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续 初等函数在定义区间上有原函数 原函数都在函数族 C 为任意常数 内 . 证: 1 又知 故 即 属于函数族 即 定义 2. 在区间 I 上的原函数全体称为 上的不定积分, 其中 — 积分号; — 被积函数; — 被积表达式. — 积分变量; 若 则 C 为任意常数 C 称为积分常数 不可丢 ! 例如, 记作 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 从不定积分定义可知: 或 或 利用逆向思维 k 为常数 或 或 解: 原式 例2. 求 解: 原式 推论: 若 则 --------线性性质 解: 原式 解: 原式 例5. 求 解: 原式 例6. 求 解: 原式 课堂练习 3. 若 提示: 4. 求下列积分: 提示: 2. 换元法 1. 直接积分法 二、不定积分的求法 3. 分部积分法 1 . 第一类换元法 2 . 第二类换元法 1. 直接积分法 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 第二类换元法 第一类换元法 基本思路 设 可导, 则有 2. 换元法 定理1. 则有换元 公式 也称 即 凑微分法 解: 令 则 故 原式 注: 当 时 解: 令 则 想到公式 想到 解: 直接凑微分 解: 类似 解: ∴ 原式 常用的几种凑微分形式: 例6. 求 解: 原式 解: 原式 例8. 求 解: 原式 *