电磁场1矢量分析.pptVIP

本章学习基本要求 本章重点和难点 补充： 矢量的表示及运算 矢量的加法和减法 矢量的点积 （标积） §1.1标量场和矢量场 §1.2 矢量与矢量场的不变特性 1.5 标量场的梯度 1.6 亥姆霍茨定理 补充 关于Hamilton算子 故得证。 由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就相互抵消了（ds的方向总是取外法线方向）。除了邻近S面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S面的那些体积元，它们有部分表面是S面上的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从闭合面S穿出的通量。故得到： 得： 由散度的定义式： 该环量表示绕线旋转趋势的大小。 水流沿平行于水管轴线方向流动 ?=0，无涡旋运动 流体做涡旋运动 ??0，有产生涡旋的源 例：流速场 图0 流速场 图 环量的计算 1.4 矢量场的环流与旋度 矢量A沿空间有向闭合曲线L的线积分 一、环量 二、旋度 1. 环流(量)密度 过点P作一微小曲面?S,它的边界曲线记为?L,面的法线方与曲线绕向成右手螺旋法则。当?S?点P时,存在极限 环流密度 取不同的路径，其环量密度不同。 2. 旋度 旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。 旋度(curl) 它与环量密度的关系为 在直角坐标系下 证明如下： 以M为顶点，取一个平行于yz面的矩形面元，则面元矢量与x轴平行，其模用 ΔSx 表示。M点的 沿回路1234的积分为 故 根据上述，此极限是 rotA 在 上的投影，也即rotA 在x轴上的投影。相似地，取面元 , 分别平行于y轴和z轴，用与上面相同的运算得到rotA 在y轴和z轴上的投影。所以 三、旋度的物理意义 矢量的旋度仍为矢量，是空间坐标点的函数。 点P的旋度的大小是该点环量密度的最大值。 点P的旋度的方向是该点最大环量密度的方向。 在矢量场中，若? ?A=J ? 0,称之为旋度场(或涡旋场)，J 称为旋度源(或涡旋源)； 若矢量场处处? ?A=0，称之为无旋场。 旋度有一个重要的性质：任一矢量的旋度的散度恒为零。即 根据这一性质，对于一个其散度恒为零的矢量 B ，可把它表示为矢量 A 的旋度。即： 在电磁场理论中，Gauss公式和 Stockes公式是两个非常重要的公式。 该公式表明了区域 S 中场A与边界 C 上的场A之间的关系； 矢量函数的线积分与面积分的互换。 Stocke’s定理 证明：将闭合回路 C 所围的面积S 分成许多面元，计算沿包围每个面积元的小闭合回路上的 A 的环流，然后叠加。应用旋度矢量的定义式可得： 四、斯托克斯(Stockes)定理 图 1.4.4 斯托克斯定理 图1.4.4 斯托克斯定理 可以看出，将上式所有环流相加时，各个小回路在公共边上的那部分积分相互抵消（因为相邻小回路在公共边界上积分方向一定相反），仅在没有公共边的部分没有抵消，故所有小回路环流的总和等于沿大回路C 的环流，即 该式左边又可以写为 当无限多个无限小的面元相加时，得 故得证。 [例] 已知矢量: 求: 解: 一、标量的梯度 图1.5.1 标量场 u(r) 设有一个标量场 u（r）= u（x，y，z), 图中用不同的 u 值表示几个曲面，每个曲面都由具有相同 u 值的点所构成，即它们分别是具有u 值为u1，u2，u3… 的等值面。 图1.5.2 等值面 从场中某点位移dl 到邻近的另一点，此标量值从 u 变化为u+du，在直角坐标内增量 du为： 则 du 可表示为： 而矢量 因为位移矢量 图1.5.2 等值面 u 的梯度 称 为标量场 u 的梯度。 若在等值面 u1=400 上沿等值面 切向取一段位移矢量 dl1 ，则 因等值面上 u 值没有变化，故有： 可见 所以梯度的定义：标量场 u 在某点的梯度是一个矢量，其方向为 u 增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于 u 在该方向上的增加率，即最大增加率。 换言之，梯度是与等值面垂直的一个矢量。 若用沿 u 增加方向的单位法向矢量 n 表示等值面上面元的方向，则 设u1和u2=u1+du 为u 值相差很小的两个等值面，如图所示。沿法向n的位移最短，u 的增加率最大。由 又由式（1.5.1） 比较上两式，得到梯度的模为： 由式（1.5.1）可得 其中 二. 梯度的物理意义 标量场的梯度是一个矢量,是空间坐标点的函数; 标量的梯度表示了标量 u 增加率的最大值及方向。 梯度的有一个重要性质： 若有