毕业论文：关于无穷小量进行无限次运算的探讨.doc

-  PAGE \* MERGEFORMAT 9 - 关于无穷小量进行无限次运算的探讨 数学与计算机科学学院 数学与应用数学专业 【摘要】无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位．当运算从有限变到无限时，很多在有限运算中成立的结论在无限运算中却不成立．无穷个无穷小量的乘积不一定是无穷小就说明了这一点．对于这个问题，很多人做了研究，并举出了一些例子.但这些例子并没有概括无穷个无穷小乘积的所有情形． 本文先阐明了无穷小量的历史发展过程，理清无穷小量的概念与性质.从无穷小量的代数和与积两个方面对无穷小量的无限次运算进行进一步完善的探讨.给出了无限个无穷小量代数和与积仍为无穷小量的条件. 【关键词】无穷小量；无限次代数和；无限乘积 目录 TOC \o 1-3 \h \u  HYPERLINK \l _Toc27020 关于无穷小量进行无限次运算的探讨  PAGEREF _Toc27020 I  HYPERLINK \l _Toc23734 1 课题背景与发展概况  PAGEREF _Toc23734 1  HYPERLINK \l _Toc24068 1.1 课题背景  PAGEREF _Toc24068 1  HYPERLINK \l _Toc28459 1.2 无穷小量的发展史  PAGEREF _Toc28459 1  HYPERLINK \l _Toc19510 2无穷小量的概念及基本性质  PAGEREF _Toc19510 2  HYPERLINK \l _Toc21638 2.1 无穷小量的概念  PAGEREF _Toc21638 2  HYPERLINK \l _Toc10865 2.2 无穷小量基本性质  PAGEREF _Toc10865 2  HYPERLINK \l _Toc13452 3 无穷小量进行无限次运算的探讨  PAGEREF _Toc13452 3  HYPERLINK \l _Toc10578 3.1 无限个无穷小量的代数和  PAGEREF _Toc10578 3  HYPERLINK \l _Toc11695 3.1.1 举例说明无限个无穷小量的代数和  PAGEREF _Toc11695 3  HYPERLINK \l _Toc25791 3.1.2 无限个无穷小量的代数和为无穷小量的??件  PAGEREF _Toc25791 4  HYPERLINK \l _Toc28294 3.2 无限个无穷小量的积  PAGEREF _Toc28294 4  HYPERLINK \l _Toc4602 3.2.1 无限个无穷小数列的积  PAGEREF _Toc4602 4  HYPERLINK \l _Toc15413 3.2.2 无限个无穷小函数列的积  PAGEREF _Toc15413 5  HYPERLINK \l _Toc15091 3.2.3 无限个无穷小量积为无穷小量的条件  PAGEREF _Toc15091 6  HYPERLINK \l _Toc21718 4 结束语  PAGEREF _Toc21718 8  HYPERLINK \l _Toc22917 参考文献  PAGEREF _Toc22917 8  1 课题背景与发展概况 1.1 课题背景 极限与无穷小量是微积分学的基础概念之一.它们不但贯穿了整个微积分学，同时为后续课程的学习打下了扎实的基础知识．它们的重要意义在于微积分、微分学、积分学中等一系列概念都是建立在极限与无穷小的基础上.从历史上看，建立极限与无穷小量的概念，并不是一帆风顺的．是经过漫长的历史时期，不乏在数学界经过激烈的争论，在第二次数学危机下,由柯西逐渐完善的.可以这样说:没有极限与无穷小量就没有微积分学. 无穷小思想在微积分和数学分析的早期发展中起着重要作用，也是理解微积分的一个关键性概念.对于无穷小量的再认识以及在一种严格的基础上重新论述，是现今数学领域的一个引人注意的课题.例如上世纪A．Robinson建立了“非标准分析”，被视为一个重要数学进展. 无穷小量是高等数学中的一个重要概念，它在高等数学中占有很高的地位．在对无穷小量性质的理解中，学生能够理解有限个无穷小的乘积是无穷小，但却主观上认为无穷小乘无穷小会“越