高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法.docVIP

高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法 经过圆锥曲线焦点被圆锥曲线截得的线段叫焦点弦。它是一个非常重要的几何量，是各类考试的重点和热点，常考不衰，角度常变。通常可以利用圆锥曲线的统一定义或焦半径公式求解，但一般由于运算量较大，过程较复杂，容易出错，导致丢分。为此，为了更好地解决这个问题，提高解题效率，下面首先介绍有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法，然后用高考题举例说明。 定理 经过横向型圆锥曲线的焦点作倾斜角为的直线，交圆锥曲线于、两点，若离心率是，焦点到相应准线的距离为，则焦半径，焦点弦长。 定理可利用直线的参数方程去进行证明，也可以用极坐标法去证明，还可以利用圆锥曲线统一定义和几何性质去证明，证法很多，这里就不一一赘述了。 掌握了上述解法，此类问题在高考中，不论是选择、填空题，还是解答题都能化难为易，迎刃而解。 例1（07年重庆） 经过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线，交双曲线，两点，求的值。 解：因为，，，，则 。 例2 （08年全国卷Ⅱ理） 已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于，两点，设，则与的比值等于 。 解：因为，，即，所以 。 例3（09年全国卷Ⅱ理） 已知双曲线，的右焦点为，过且斜率为的直线交于，两点，若，求的离心率。 解：因为，即，又， 所以， 解得。 例4（10年全国卷Ⅱ） 已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与交于，两点，若，求的值。 解：因为 所以， 解得，则。 例5（10年全国卷Ⅰ） 已知是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为 。 解：依题意知，因为 ，所以， 解得。 例6（10年重庆理） 已知以为焦点的抛物线上的两点，满足，则弦中点到准线的距离为 。 解：因为，又，所以，解得，由抛物线的定义和梯形的中位线性质可知，弦中点到准线的距离等于焦点弦长的一半，即。 例7：（08年宁夏） 经过椭圆的右焦点作斜率为的直线交椭圆于，两点，是坐标原点，则△的面积= 。 解：因为，，，，， 又，则，所以，又知直线的方程为，它到点的距离为，所以△的面积= 。 例8（07年全国） ，是椭圆的左右焦点，过，作两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于，和，，求四边形面积的最小值。 解：因为，，，，，设直线的倾斜角为，又，则直线的倾斜角为，所以四边形面积 ， 所以当时，取最小值， 。 例9（08年安徽文） 设椭圆，其相应于焦点的准线方程为。 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）已知过点的倾斜角为的直线交椭圆于，两点，求证： ； （Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于，和，，求的最小值。 解：（Ⅰ）由题意易求得椭圆的方程为。 （Ⅱ）因为，，，，，所以 。 （Ⅲ）因为，则直线的倾斜角为，由（Ⅱ）的结论可知 ， 所以 ， 所以当时，取最小值，其最小值为。 例10（08年全国卷Ⅰ） 设双曲线中心在坐标原点，焦点在轴上，两条渐近线分别为和，过双曲线的右焦点且垂直于的直线分别交和于，两点，已知，，成等差数列，且与同向。 （Ⅰ）求双曲线离心率； （Ⅱ）设被双曲线截得线段长为，求双曲线方程。 解：（Ⅰ）略。 （Ⅱ）设直线的斜率为，直线被双曲线截得线段为，由（Ⅰ）可知，，而渐近线的斜率为，则由得，则，又，由，得，，故所求的双曲线方程为。 例11（10年辽宁理） 已知椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆相交于，两点，直线的倾斜角为，。 （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）如果，求椭圆的方程。 解：（Ⅰ）因为 所以， 解得。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，则，得，所以 ， 又 ，得，， 故椭圆的方程为。