【连续控制系统讲解】由伯德图确定传递函数2.pptVIP

2.7.6 由伯德图确定传递函数 1. 最小与非最小相位系统的概念 如果系统的传递函数在右半S平面上没有极点和零点，而且不包含滞后环节，则称为最小相位系统，否则，称为非最小相位系统。 只包含比例、积分、微分、惯性、振荡、一阶微分和二阶微分环节的系统是最小相位系统。而包含不稳定环节或滞后环节的系统则是非最小相位系统。 在伯德图上，若一个最小相位系统和一个非最小相位系统具有相同的幅频特性，则最小相位系统的相角滞后，总是小于非最小相位系统的相角滞后。例如，从不稳定典型环节的伯德图图2.52和图2.53上可明显地看出，它们的相角滞后都大于所对应的稳定的典型环节的相角滞后。 最小相位系统的特征: 设一个最小相位系统的传递函数的分子、分母的最高次数分别是n和m，则当 时，系统的相频特性必然趋于 。而对应的所有非最小相位系统虽然具有相同的幅频特性，但 时，系统的相频特性不等于 。在伯德图上，当系统的对数相频特性的高频段趋于 ，则为最小相位系统，否则，是非最小相位系统。 2. 由伯德图确定传递函数 对于最小相位系统，幅频特性和相频特性是单值对应的，因此，根据系统的对数幅频特性就可以写出系统的传递函数或者频率特性。 例2.28 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2.57所示，确定该系统的传递函数。 解 由于对数幅频特性的低频段是 -20dB/dec的直线，所以，系统的传递函数有一积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传递函数为 由于低频段的延长线与0db线（横坐标轴）的交点为 ，因此，K=10。 由于在转折频率处对数幅频特性和其渐近线的误差为4.44db，由式（2.112）得 例2.29 某最小相位系统的对数幅频特性的渐近线如图2.58所示，确定该系统的传递函数。 解 由于对数幅频特性的低频段是-20dB/dec的直线，所以，系统的传递函数有1个积分环节。根据转折点处对数幅频特性渐近线斜率的变化，容易写出系统的传递函数为 在穿越频率ω=1处L(1)=0，由此或者 确定K。 通常在穿越频率ω=1附近，转折频率在穿越频率左边的惯性环节的对数幅频特性可以认为是-20dB/dec的斜线，即可以近似为一个积分环节。而转折频率在穿越频率右边的惯性环节的幅频特性可以认为是0dB的水平线，即可以近似为1。 一阶微分环节、二阶微分环节、振荡环节等可以进行类似的近似处理，从而简化计算。 在本例中，在穿越频率ω=1附近，可以作下列近似 因此得K=25,所以，系统的传递函数为 3. 频率特性的实验确定法 稳定的线性系统频率特性的实验确定法: 采用正弦波发生器产生频率可调的正弦波，作用于被测系统，测量系统稳态输出的正弦波的幅值和相角。在尽可能宽的频率范围内不断改变输入正弦波的频率，可以测得一组实验数据，然后根据实验数据绘制伯德图。最后在对数幅频特性图上，用一组斜率为 –20ndb/dec（n=0, ± 1, ± 2,…）的直线逼近系统的对数幅频特性曲线，作为系统对数幅频特性的渐近线。 所选择的逼近对数幅频特性曲线的直线不是唯一的。应该在满足建模精度的前提下，选择较低阶的模型。 假设系统是最小相位的，则根据所选择的对数幅频特性的渐近线，可以写出系统的传递函数。例如，某系统的实验数据如表2.4所示，其伯德图如图2.59所示。 表2.4 某系统的实验数据 在图中，虚折线为所选择的对数频特性的渐近线，根据图中3个转折频率ω1= 1,ω2=2,ω3=8和ω3=8附近的幅值，可以写出系统的传递函数为 注意:这个传递函数仅仅是根据系统的对数幅频特性实验曲线得到的，没有考虑系统对数相频特性实验曲线，所以，这个传递函数是试探性的。如果根据选择的模型绘制的曲线与实验得到的曲线基本吻合，则所选择的系统传递函数模型是合适的。如果误差太大，则要考虑模型中某些环节是不稳定环节，或者包含滞后环节。 如果高频段的相角符合-(n-m)90。的关系， 则是最小相位系统，否则是非最小相位系统。如果高频段的相角有无限增大的趋势，则可能包含滞后环节。 根据上面初步得到的传递函数，绘制其对数相频特性曲线，如图2.59中虚线所示。可见，与实验曲线是不吻合的。当 ω=10时， 实验曲线 与 之差为-115。， 而当ω=20 时，实验曲线与 之差为-240。，这基本上和滞后环节的相频特性-0.2ω相符，所以系统的传递函数应