【材料力学课件】压杆的临界应力.docVIP

15-3 压杆的临界应力 　　如上节所述，欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。为了判断压杆失稳时是否处于弹性范围，以及超出弹性范围后临界力的计算问题，必须引入临界应力及柔度的概念。　　压杆在临界力作用下，其在直线平衡位置时横截面上的应力称为临界应力，用表示。压杆在弹性范围内失稳时，则临界应力为：　　　 　 　（15-3） 式中称为柔度，为截面的惯性半径，即 　　　　　　　,　　　　　　　　　　　　　　　 （15-4） 式中Ｉ为截面的最小形心主轴惯性矩，Ａ为截面面积。　　柔度又称为压杆的长细比。它全面的反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形状对临界力的影响。柔度在稳定计算中是个非常重要的量，根据所处的范围，可以把压杆分为三类： 　　1. 细长杆（） 　　当临界应力小于或等于材料的比例极限时，即 　　 压杆发生弹性失稳。若令　　　　　　　　　　　　　　　　　 （15-5） 则时，压杆发生弹性失稳。这类压杆又称为大柔度杆。对于不同的材料，因弹性模量Ｅ和比例极限各不相同， 的数值亦不相同。例如A3钢，，，用式（15-5）可算得。　　2. 中长杆（）　　这类杆又称中柔度杆。这类压杆失稳时，横截面上的应力已超过比例极限，故属于弹塑性稳定问题。对于中长杆，一般采用经验公式计算其临界应力，如直线公式：　　　　　　　　　　　　　　　（15-6） 　　式中a、b为与材料性能有关的常数。当时，其相应的柔度为中长杆柔度的下限，据式（15-6）不难求得：　　　例如Ａ3钢，，，，代入上式算得。 　　3. 粗短杆（）　　这类杆又称为小柔度杆。这类压杆将发生强度失效，而不是失稳。故 　　上述三类压杆临界应力与的关系，可画出 曲线如图15-7所示。该图称为压杆的临界应力图。　　需要指出的是，对于中长杆和粗短杆，不同的工程设计中，可能采用不同的经验公式计算临界应力，如抛物线公式（和也是和材料有关的常数）等，请读者注意查阅相关 的设计规范。 ? 表15-1 常用材料的a、b和值 材 料 A3钢 304 1.12 102 优质碳钢 461 2.568 95 铸 铁 332.2 1.454 70 木 材 28.7 0.190 80  　　【例15-1】 A3钢制成的矩形截面杆的受力及两端约束情形如图15-8所示，其中a为正视图,b为俯视图。在A、B两处用螺栓夹紧。已知,,,材料的弹性模量,求此杆的临界载荷。　　【解】压杆AB在正视图x-z平面内失稳时,A、B两处可以自由转动，相当于铰链约束。在俯视图x-y平面内失稳时,A、B两处不能自由转动,可简化为固定端约束。　　在x-z平面内:　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　图15-8　　　　　　　　　　，　　A3钢的 属于弹性稳定问题。　　　　　　　 在x-y平面内:　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A3钢的，属于弹塑性稳定问题。 由表15-1查得:， 　　　　　　　　　　　　　　故此杆的临界载荷为。