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微积分学大型案例分析求解 在本学期开学的第一堂课中，我们提出了一个大型案例。现在我们根据本学期我们学过的相关知识来解决。 引例：一只游船上有800人，一名游客不慎患传染病，12小时后有3人发病，由于船上不能及时隔离，问经过60小时、72小时，患此传染病的人数有多少？ 此问题实际上与人口增长问题基本一致。为此引入介绍人口增长问题模型。 相关背景及模型介绍： 认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提，长期以来人们在这方面作了不少的工作。 18世纪末，英国人口学家马尔萨斯（Malthus，1766——1834）对百余年的人口统计资料进行了研究，于1798年提出人口指数增长模型。他的基本假设是：单位时间内人口的增长量与当时的人口总数成正比。 设时间 时的人口总数为 ，则根据马尔萨斯假设，在时间 时人口总数为 ，从 到时间 内，人口增长 。 令 ，得到 满足微分方程 这是一个可分离变量的微分方程，容易解得满足初始条件的解为 时，（1）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 根据我国国家统计局1990年10月30 日发表的公报，1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年人口平均增长率为14.8‰，利用上式，将 ， ， 代入，可以得到2000年我国人口总数为 （亿） 得出的结果与实际情况基本吻合。 但是当 时， ，这是不可能的。 从长期来看，任何地区的人口都不可能无限增长 ，即指数模型不能描述、也不能预 测较长时期的人口演变过程。随着人口的增长，自然资源、环境条件等因素对人口的增长的限制越来越显著，人口较少时，人口的自然增长率基本上是常数，而当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口的增加而减少。 为此，必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设。 荷兰生物数学家Verhulst在19世纪中叶提出了阻滞增长模型，也称逻辑斯蒂（Logistic）模型。 用 表示自然资源和环境条件所能容许的最大人口数，并假定净增长率等于 ，即净增长率随着 的增加而减少，当 时，净增长率趋向于零。这样，指数模型中的微分方程变为 解得 利用初始条件可得， 所以 容易看出，当 时， 。下图（一）是逻辑斯蒂（Logistic）模型的大致图形。 逻辑斯蒂（Logistic）模型不仅能够大体上描述人口的变化规律，而且对自然环境保护区中的野生动物的增长情况、森林中的树木的增长情况、耐用消费品的售量等都可以用它来描述。如假定今年在某保护区放入野生动物20只，若被精心照料，预计野生动物增长规律满足，在 年内，其总数为 当保护区中野生动物达到80只时，没有精心的照料，野生动物也将会进入正常的生长状态，即其群体增长仍然符合上述表达式中的增长规律。现在的问题是： （1）需要精心照料的期限为多少年？ （2）在这一自然保护区中，最多能供养多少只野生动物？ 将 代入可以得到 解得 （年） 又当 ， 。 所以，只需精心照料9年，这个保护区最多能供养220只野生动物。 有了此相关背景几知识，我们可解决前面提出的引例。 解 设 表示发现首例病人后 小时的感染人数，则 表示此时未受感染的人数，由题意知 。 根据常理，当感染人数 很小时，传染病的传播速度较慢，因为只有很少的游客能接触感染者；当感染人数 很大时，未受感染的人数 很小，即只有很小的游 客能被感染，所以此时传染病的传播速度也很慢，排除上述两种极端的情况，当有 很多的感染者及很多的未感染者时，传播速度很快。因此，传染病的发病率，一方面受感染人数的影响，另一方面也受未感染人数的制约。 根据以上分析，得 解得 这属于逻辑斯蒂（Logistic）模型。 由条件 可得 所以 令 ，得 又令 ，得 。 由上我们可以看出，在72小时被感染的人数将是60