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Chapter 3 泛函分析初步 §3.1 线性空间 PP2-5 §3.2 线性子空间 P6 §3.3 距离空间 PP7-13 §3.4 Banach空间 PP14- §3.5 Hilbert空间 PP27 §3.6 完备规范正交集上广义傅里叶展开 PP36-43 §3.1 线性空间 定义(线性空间)：非空集合W≠? ，若满足 (1) W 中元对“+”构成交换群，即对? X,Y,Z?W，有 ⅰ. ⅱ. ⅲ. ⅳ. ⅴ. （加法交换群，称为Abel加群，俗称Abel群） (2) 对 ? X,Y?W， ? ?, ? ?C（复数域），有： ⅵ. ⅶ. ⅷ. ⅸ. 即对数乘封闭， 则称W为线性空间；??, ? ? C ，W为复线性空间； ?, ? ?R，W为实线性空间。 说明： 线性算子： 线性空间W上的算子 L 为线性算子 推论： 零状态线性系统 ? 系统算子为线性算子 §3.2 线性子空间 线性子空间：设 ? ≠V ? W，V是W的线性子空间 （V上加法、数乘封闭） §3.3 距离空间（度量空间，Metric Space） 定义：设W≠? ，称W为距离空间，指在W中定义了映射： （包括0元）， ? X,Y?W 满足以下三条公理： 则 称为W上的距离， 为度量空间。 例子： 例1：数域 例2：函数空间 例3：向量空间 距离空间的收敛问题： 收敛： 定理：在 中，每个收敛点列有唯一的极限点。 （请同学自行证明） 研究点列的轨迹，点迹收敛情况。 柯西序列： 柯西序列（Cauchy Sequence） 例子： 点列越来越靠近，无限靠近，靠到哪里呢？ 如果靠到W上，则可惜序列收敛于W 。 关于柯西序列的说明： 中任意收敛序列都是柯西序列 中的柯西序列未必收敛到 上 距离空间的完备性： 完备度量空间——Complete Metric Space 称为完备度量空间，指其中所有柯西序列都收敛于W 。 说明： 极限运算在完备时可行，不完备则不能求极限 如何完备化？ 度量空间（W, ρ）不要求 W 是线性空间 §3.4 巴拿赫（Banach）空间 §3.4.1 赋范线性空间 定义（赋范线性空间）：设W≠ ?是线性空间，若对? X、Y?W，? 满足三条公理： 则称 为X 的范数（Norm）。定义了范数的线性空间称为赋范线性空间，记为 。 赋范空间与度量空间的关系： 举例： 例1：n 维实数空间 （广义长度概念） 例2：离散时间序列空间 l（无穷维空间） 例3：连续时间信号空间C [a, b]（无穷维） 赋范线性空间的包含定理： M氏不等式： 离散序列空间的Minkovski不等式 连续函数空间的Minkovski不等式： 强收敛与弱收敛： 强收敛： 弱收敛：依泛函收敛，通常意义下的函数收敛是弱收敛。 例如，Ch1之广义极限，就是一种弱收敛； 强收敛 ? 弱收敛。 §3.4.2 Banach空间 Banach空间：完备的 是Banach空间。 在 中，取 完备。 H?lder不等式： H?lder不等式： Banach空间的包含定理： 定理： §3.5 Hilbert 空间 外两则： Hilbert第六问题：任何物理学理论、物理定律、实验结论，都可以从一组数学公理出发演绎得到。追求统一观。 泛函分析：属于基于公理的分析体系，不在于计算，而着眼于概念演绎，更普适、更一般、更深刻地理解、解释数学物理问题。 §3.5.1 内积空间（W, ??,??） 内积：设W≠?为实或复线性空间，若对