利用二次函数和三角函数的最值解决实际问题.doc

【标题】?利用二次函数和三角函数的最值解决实际问题 【作者】黄佳琦 【关键词】?二次函数??三角函数??最值 【指导老师】王玲芝 【专业】数学与应用数学 【正文】1．引言最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在众多知识点及知识水平层面上.以最值为载体，可以考查中学数学的绝大多数知识点，实践分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，提高学生的思维能力、实践和创新能力.因此，它在高中数学中占有比较重要的地位.最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其是导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力.而函数作为高中数学的主干知识，在历年高考中始终是“重点内容重点考查”.根据新一轮数学课程改革方向，加强数学的实用性，注意理论与实践问题的结合，把数学知识应用到实际生活中，因此函数最值与实际生活的联系就显得非常紧密，在各行各业都可以看到函数最值活跃的身影，例如在经济、生活、工程建设、物理学及大多行业中被广泛的应用，使我们发现做事的捷径，减少物力、财力的消耗.自孙罗超先生在“利用函数最值解实际问题”一文中提出分别利用一次函数的最值和二次函数的最值解决实际问题以来，经过许多工作者的努力，其问题的研究已经取得了许多重要的进展.而后陈文伟先生在此基础上进一步研究了二次函数在实际生活中的应用，从而改进和扩大了孙先生在该文的结果，使二次函数的最值更灵活的应用于实际生活中.人们在应用函数最值解决实际生活时常常结合图形建立数学模型，再运用相关知识来解决实际问题，从而使得问题更形象、直观易于解决.本文将结合大量文献所积累下来的技巧和方法，通过列举、数形结合等多种方法，继续研究二次函数的最值和三角函数的最值在经济、生活、工程建设三方面的实际应用.2．预备知识以下是本论文将要用到的相关的定义、性质及定理.1、函数的最大值与最小值的定义：设函数?在区间?有定义，如果?，有?，那么?叫做?在区间?的最小值，记做?；如果不等式?在给定区间?内任意?都成立，那么?叫做函数在区间?的最大值，记做?.2、增（减）函数的定义：设函数?在区间?内有定义，如果对于任意??，当?时，都有????，那么就说?在这个子区间?上是增（减）函数.3、动量定理：物体在运动过程中所受合外力的冲量，等于该物体动量的增量.4、牛顿第三定律：两个物体之间的作用力和反作用力，在同一直线上，大小相等而方向相反.或者说，当物体?有一力?作用在物体?上时，物体?必定同时以力?作用在物体?上，?和?在同一直线上，大小相等而方向相反，亦即??－?.5、任意个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，即当?均为正数时，????????????????恒成立，当且仅当?时取等号.6、??+??? x 0???为任意正数.3．正文3．1??利用二次函数最值解决实际问题.解二次函数的最值往往通过配方解决，即???????????+? 2+?若? 0，则???+? 2 0??????????????+? 2+???即????－?时?????????若?? 0，则????+? 2 0? ????+? 2+???即????－?时??????????函数????含有字母参数，那么求最值时一般要对字母参数的取值进行分类讨论.3．1．1??二次函数最值在经济中的应用在实际生活的经济问题中利用二次函数的最值求最高利润的实例比比皆是，商家的进出货物价格、广告公司的广告费用……几乎和经济挂钩的地方都和函数最值相关，下面就用一典型范例来说明二次函数最值是如何为经济生活服务.例：一家专卖店可经销10种不同档次的手机.据市场调查预测，每月可卖出最低档次的手机1000 10百?部，如果每提高一个档次，每部手机利润可增加1百元，但每月要少卖1百部，假如你是该店经理，你将重点经营哪种档次的手机，以获取最大利润.解：设最低档次手机每部利润为?百元，提高?个档次时，手机利润为?万元，则????????? 10－????+???－ 2+ 10－???+10???????????－??－? 2+?其中??且????|? 9，???.（1） 若 0?? 9，即－8?? 10，对称轴???在区间 0，9?内.当? 2、4、6、8、10时，????，?取最大值，即经营第?+1档次的手机利润最大(如图1).?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????(?图 1?)当? 2、4、6、8、10且?????时，?取最大值，其中???表示小于?且与之最接近的整数，即经营第???+1档次的手机利润最大