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5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 1.一阶系统 其特征多项式为 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 2.二阶系统 其特征多项式为 若特征根为负实根， 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 3.n阶系统 5.4.2 控制系统的频域稳定性判据 5.4.3乃奎斯特判据(奈氏判据) （1）0型系统 开环稳定，则 5.4.3乃奎斯特判据(奈氏判据) 5.4.3乃奎斯特判据(奈氏判据) * (ⅰ) 当?g ?c 时，即A(?g) 1，N? = 1，N? =1/2 R = N? ? N? = 1/2 Z = P ? 2R = 0 故系统稳定。 (ⅱ) 当?g ?c 时，即A(?g) 1，N? = 0，N? =1/2 R = N? ? N? = ?1/2 Z = P ? 2R = 2 故系统不稳定。 * 5.4 奈奎斯特稳定判据 奈奎斯特稳定判据(简称奈氏判据)是根据开环频率特性曲线判断闭环系统稳定性的一种准则。 具有以下特点 ： (1) 应用开环频率特性曲线就可以判断闭环稳定性。 (2) 便于研究系统参数和结构改变对稳定性的影响。 (3) 很容易研究包含延迟环节系统的稳定性。 (4) 奈氏判据稍加推广还可用来分析某些非线性系统的稳定性。 5.4.1 辅助函数F(s) 如图示的控制系统，G(s) 和H(s)是两个多项式之比 G(s) R(s) C(s) ﹣ + H(s) * 开环传递函数为 闭环传递函数为 把闭环特征多项式和开环特征多项式之比称之为辅助函数， 记作F(s)， F(s)仍是复变量s的函数。 =1 + Gk(s) * 显然，辅助函数和开环传函之间只相差1。考虑到物理系统中，开环传函中m? n，故F(s)的分子和分母两个多项式的最高次幂一样，均为n， F(s)可改写为： F(s)具有如下特征： 1）其零点和极点分别是闭环和开环特征根； 2）零点和极点个数相同； 3） F(s)和G(s)H(s)只相差常数1。 式中， zi和pi分别为F(s)的零点和极点。 如果P为正数，这个根在复数平面的左半平 面，系统是稳定的；若P为负数，这个跟在复数 平面的右半平面，系统不稳定。 假如是负实根，令 ，则 × × p -p -p -p × -p × -p × p × p × 由此得到如下结论：对一阶系统，如果系统是 稳定的，那么： -p1 × -p2 × -p1 × -p1 × -p1 × -p1 × -p2 × -p2 × -p2 × -p2 × -p1 × -p1 × 其相角变化应为 若闭环也稳定，应有 因为辅助函数 则 * F(j?)和G(j?)H(j?)只相差常数1。 F(j?)包围原点就是G(j?)H(j?)包围(-1，j0)点。 GH平面 0 F平面 ?1 对于G(j?)H(j?) ?: 0 ? ?，开环极坐标图； ?: ?? ? 0，与开环极坐标图以?轴镜像对称； F平面( 1, j0)点就是GH平面的坐标原点。 * 奈氏判据：已知开环系统特征方程式在s 右半平面根的个 数为P，开环奈氏曲线（ ?: 0 ? ?）包围(?1，j0)点的圈数为R，则闭环系统特征方程式在 s 右半平面根的个数为Z，且有 Z = P ? 2R 若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z?0，闭环系统是不稳定的。 或当开环系统稳定时，开环奈氏曲线不包围( ?1，j0)点时，则闭环系统是稳定的。 当开环系统不稳定时，开环奈氏曲线包围 (?1，j0)点P圈时，闭环系统是稳定的。 * 例5-10 判断系统稳定性 （2） p = 0 ，R ? ?1 z ? p ?2R ? 2 ? 0 闭环系统不稳定的。 Re p = 0 ?? ? Re Im 0 ? = 0 解：由图知 （1）p = 0 且 R = 0 闭环系统是稳定的。 Re Im 0 ?1 p = 0 ? = 0 ?? ? * （3） p = 0 ，R? 0 闭环系统是稳定的。 Re Im 0 ?1 ? = 0 ?? ? p = 0 * 试用奈氏判据判断系统的稳定性。 例5-11 一单位反馈系统