不等式的性质、算术平均数与几何平均数.docVIP

不等式的性质、算术平均数与几何平均数 一. 教学内容： 不等式的性质、算术平均数与几何平均数 二. 教学重、难点： 1. 重点： 理解不等式的性质及证明比较法，掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 2. 难点： 比较法中的判号，算术平均数与几何平均数不等式中等号成立的条件。 【典型例题】 [例1]（1）若，，证明： （2）若，，证明： 证明： （1）∵ ， ∴ ， ∴ ，即 （2）∵ ∴ ∵ ∴ [例2] 若，比较与的大小。 解： ∵ ∴ 与不同时为零 ∴ ∴ 时， 时， [例3] 已知：且，，比较与的大小。 解： （1）时，∵ ∴ ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ （2）时，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ [例4]（1）比较与的大小。 （2）已知，比较与的大小。 解： （1） ∴ （2）方法一：设， ， ∴ 方法二： ∴ 方法三： ∵ ， ∴ ∴ [例5]（1）已知：，求的最大值。 （2）求的最小值。 解： （1）∵ ∴ 当且仅当时， （2）设（） ∴ ∴ 当时， [例6] 设，求的最大值。 解：∵ ∴ ∴ 当即时， [例7]（1）求（）的最小值。 （2）已知，求的最大值。 解： （1） 当且仅当 即时， （2） 当且仅当 即时， [例8] ，，，且，求的最小值。 解：∵ ，， ∴ 将上面三个式子求和： ∴ 当时， 【模拟试题】 一. 选择： 1. 已知，那么下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则下列结论中正确的个数是（ ） ① ② ③ ④ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设，则（ ） A. B. C. D. 4. ，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 5. ，，，则下列各式中最大的一个是（ ） A. B. C. D. 6. 设，且，则取最小值时，的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 7. 若R，下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知、且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二. 填空： 1. 已知，则，，的由大到小顺序为 。 2. 若，且下列不等式：① ；② ；③ ，其中不成立的是 。 3. 若，且，则的最大值为 。 4. 函数（）的最小值为 。 三. 解答题： 1. 若、、满足，，比较、、的大小。 2. 若，比较与的大小。 3. 求的最小值。 4. 已知的周长为定值，求它面积的最大值。 【试题答案】 一. 1. B 2. B 3. C 4. B 5. B 6. B 7. A 8. C 二. 1. 2. ①②③ 3. 4. 三. 1. 解： ∴ 又 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 2. 解： （1）当时， ∴ （2）当时，即时， ∴ （3）当，时，即或时， 3. 解： 设（） ∴ ∴ 当时，即时， 4. 解： 设的两直角边长为，，则斜边为 由已知得 ∵ ， ∴ （当且仅当时，取“=”） ∴ ∴