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1微分法 1.1利用导数的定义 例 1.1 设函数，其中，，……，都为实数，为正整数，已知对于一切实数，，试证。 分析 问题中的条件与结论不属于同一类型的函数，如果能找出它们之间的关系，无疑能解决此问题，可以看出：，于是问题就转化为证明。 证明 因为 ， 则 。 由导数的定义，得 。 由于 ， 所以 ， 即 。 说明：此方法适用范围不广，解题时应仔细观察问题中的条件与结论之间的关系，有些不等式符合导数的定义，因此可利用导数定义将其形式转化，以达到化繁为简的目的。 1.2利用函数的单调性 例1.2（1） 已知、都是正整数，且，证明不等式 。 分析 对原不等式取对数，则所要证的不等式转化为，而满足，于是只需证是区间上的减函数。 证明 因为 ， 所以 不等式等价于。 取函数 ，， 则 ， 所以在上是减函数。 又因为 ，故， 即 ， 所以 。 说明 ：此方法适用于某区间上成立的函数不等式，对于数值不等式通常是通过做辅助函数完成的。 例1.2（2）证明，时 证明 当或时，不等式自明。只需证明，，的情况。为此只需证明时，即可。事实上： 当，，时， 。 2、， 故 时，。 说明：此例题是利用单调极限来证明不等式的，即若时，，且时，,则 (当时)。 1.3利用函数的极值与最值 1.3.1利用一元函数的极值与最值 要点：要证明，只需先求的最值，再证明即可。 例1.3.1（a）设 ，，证明不等式 。 证明 令 ， 则 ， ， 令 得 。 又因为 ， 所以 。 因为 ， ， 故 。 说明 ：此方法的适用范围也是在某区间上成立的不等式，证明的基本方法与上一方法相似，不过这里与所做的辅助函数比较的不是函数的端点值，而是极值与最值。 例1.3.1（b）设为任一常数，试证 (当时) 。 证明 设 ，则只需证恒成立。 因 ，所以只需要证明： (当时)或。 令 ，得唯一稳定点 。 当时， ；当时，。 所以 1.3.2利用二元函数的自由极值与条件极值 （a）利用自由极值 要点： 自由极值又称局部极值。在点有极大（小）值，指函数在点的某邻域里恒有 。 例1.3.2（a）求证：，，。 分析：由题设，只需证在，内最大值小于。因为为二元函数，故要用到条件极值。 证明：在区域，的边界上恒为0，而在区域内部 ， 。 令 ，在，内求稳定点，得 ， 即; （1） 及 ， 即； （2） 这表明在，内的最大值应满足于方程（1）、（2）。 然后在（1）、（2）所确定的点上。 所以 ，，。 注：求自由极值的方法步骤： 求可疑点。可疑点包括：i) 稳定点（即一阶偏导数同时等于0的点）；ii)使至少某一阶偏导数不存在的点。 对可疑点进行判断。基本方法：（a）用定义判断；（b）利用实际背景进行判断；(c)利用二阶偏导数。 （b）利用条件极值 要点：若求得在条件之下的最大值为，那么我们就获得了不等式。 例1.3.2（b）求,时函数在球面上的极大值，并证明为正实数时， 。 解 设， 令,解得，，。 因为在球面位于第一卦限的部分上连续，在这部分的边界线上，、、分别为0. 为负无穷大，故的最大值只能在这部分内部达到。而是唯一的可疑点，所以最大值为 ，。 故 。 两边同时平方，并用，，代入便得欲证的不等式 。 注：用这种方法，可以证明一系列著名不等式。例如 在条件之下，求函数的最小值，可以证明不等式， 。 1.4 凸函数及其性质在不等式证明中的应用 1.4.1 利用凸函数的定义 定义 设函数为定义在区间上的函数，若对上任意两点，和任意实数，总有 （1） 则称为上的凸函数。反之，如果总有 （2） 则称为上的凹函数。 如果（1），（2）中的不等式改为严