973- 辐角原理及即应用.pptVIP

6.3 辐角原理及即应用 6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇定理 6.3.1 对数留数 6.3.2 辐角原理 6.3.3 儒歇(Rouche)定理 推论1: 设n次多项式 p(z)=a0zn+…+ atzn-t+…+an(a0≠0） * * 定义：形如 积分称为f(z)的对数残数 主要作用：推出辅角原理 提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法.特别是,可以研究在一个指定的区域内多项式零点个数的问题 显然,函数f(z)的零点和奇点都可能是 的奇点. 对数留数因此而得名 证 如a为f(z)的n级零点,则在点a的邻域内有 引理6.4 (1)设a为f(z)的n级零点(极点）, (2)设b为f(z)的m级极点 a必为函数 的一级极点,且 必为函数 的一级极点,且 其中g(z)在点a的邻域内解析,且g(a)≠0.于是 (2)如b为f(z)m级极点? 在点b的去心邻域内有 在点a的邻域内解析, 的一级极点,且 ? a必为 h(z)在点b的邻域内解析,且h(b)≠0. 在点b解析 的一级极点,且 ?故b为 定理6.9 设C是一条围线,f(z)合条件: (6.26) 证 由第五章习题(二)14,可知f(z)在C内部至 多只有有限个零点和极点.设ak(k=1,2,…p)为 f(z)在C内部的不同零点,其级数相应地为nk; bj(j=1,2,…q)为f(z)在C内的不同极点,其级数相 (1)f(z)在C内部除可能有极 点外是解析的; (2)f(z)在C上解析切不为零 则有 式中N(f,C)与P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零 点与极点的个数 称为f(z)在C内是亚纯的 (2)可改为f(z)在C 上连续且不为零 特别注意几级算几个. 在C内部及C上除去在C内部有一级极点ak (k=1,2,…p)及bj(j=1,2,…q)均是解析的. 故由残数定理6.1,及引理6.4得 应地为mj,则根据引理(6.4)知, 例 计算积分 ?Cargf(z)表示z沿C之正向绕行一周时argf(z)的 改变量 (6.27) 特别说来,如f(z)在围线C上及C之内部均解析, 且f(z)在C上不为零,则 (6.28) (2) f(z)在C内是亚纯的 (3) f(z)在C上连续且不为零 (1) C是一条围线 辅角 原理 例6.21 设f(z)=(z-1)(z-2)2(z-4),C: |z|=3,试验证 辐角原理 例6.22 设n次多项式 p(z)=a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在虚轴上没有零点，证明它的全部零点在左半平面 Rez0内的充要条件是: Ri Ri CR R O x y ?R 定理6.10 (儒歇(Rouche)定理) 证 由假设f(z)与 f(z)+?(z)在C内部解析, 且连续到C,在C上有| f(z)|0,及 设C是一条围线,函数f(z)及?(z)满足条件: (1)它们在C的内部均解析,且连续到C; (2)在C上, |f(z)||?(z)| f(z)与 f(z)+?(z) 在C内部有同样多的零点,即 ?? (6.30) 由关系式 (6.31) 这样一来,这两个函数f(z)与 f(z)+?(z)都满足定 理6.9的条件.由于这两个函数在C的内部解析,于是 由(6.28),下面只须证明 C 0 z 图6.14 根据条件(2), 当z沿C变动时 将z平面上的围线C变成平面上的闭曲线?, 借助函数 2 0 1 ? 即是说,点? 不会围着原点?=0 绕行. ?? 全在圆周|?-1|=1的内部. 满足条件：|at||a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an| 则p(z)在单位圆|z|1内有n-t个零点 证：令f(z)= atzn-t, ?(z)=a0zn+…+ at-1zn-t+1+ at+1zn-t-1 +…+an 则f(z)与?(z)均在闭单位圆域|z|≤1上解析，而且在单位圆周 |z|=1上有： |f(z)|= |at||a0|+…+ |at-1|+ |at+1+ …+|an|≥|?(z)| 由儒歇定里得p(z)=f(z)+?(z)与f(z)在单位圆内有同样多的零点，即为n-t个 推论2: n次方程 (p(z)=)a0zn+ a1zn-1+ …+an=0 (a0≠ 0） 在复数域内有且仅有n个根（几重根就算几个根） 1.首先证明存在R0， 有n个根 R 方程在圆|z|R内恰有n个根 ， 证 明 思 路 2.其次证明，对?z0 |z0|=R0≥R，均有|p(z0)|0 无根 证 明 1.令，