710-第五章 留数定理及其应用.pptVIP

第五章 留数定理及其应用 第一节 留数及留数定理 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 第一节 留数及留数定理 留数的概念 留数的计算方法 求留数举例 留数定理 留数定理的应用 第二节 应用留数定理计算实函数的积分 类型一 其中被积函数是三角函数的有理分式函数；积分区间为[0,2?] 类型二 其中被积函数在实轴上无奇点； 积分区间为(-?,?) 类型三 其中被积函数 f (x) 在实轴上无奇点；积分区间为(-?,?),m 0 实轴上有奇点的情况 补充例题 * * 设 z0 时函数 f (z) 的孤立奇点，则有Laurent定理知:在 z=z0 点的某个去心邻域内 f (z) 可展开成Laurent级数 则称 f (z)的Laurent级数中(z - z0 )-1的系数a-1为 f (z)在 z0 点的留数（也称残数），记为 或 (1) 一般方法：利用留数的定义来求留数 (2) 根据孤立奇点的类型来计算留数 (A) 可去奇点 (B) m 级极点 (C) 本性奇点 按第一种方法来计算 求函数 在 z=1 处的留数 例1 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点处的留数 例2 试确定函数 的极点，并求 f (z) 在这些极点出的留数 例3 设函数 f (z) 在闭合回路C所围成的区域B内除有限个孤立奇点 z1, z2, …, zN 外解析，并且直到边界连续，则有 B C z1 z2 zN B C z1 z2 zN 计算积分 例1 计算积分 例2 计算积分 例3 计算积分 例4 例2： 例1： 其中0?1 利用留数定理计算实积分的步骤： 将实积分化成闭合回路的复积分 利用留数定理 计算留数 CR O -R R 成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点 (2) 说明： 对于条件(2) 1. 在什么条件下有 成立 引理：若 z f (z)?0 (z? ?)，则有 2. 关于条件 z f (z)?0 (z? ?)的一点说明 3. 例子 O z=i x y z=-i 对于条件(1) 1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理 2. 例子 奇点 z=??/2i, ?3?/2i, ? 周期 2?i y=? O -R R y=0 y=?/2 问题： 思考： 成立的前提: (1) f (z)在上半平面只有有限个奇点 (2) CR O -R R 说明： 对于条件(2) 1. 在什么条件下有 成立 约当引理：若 f (z)?0 (z? ?)，则有 2. 关于条件 f (z)?0 (z? ?)的一点说明 3. 例子：计算积分 O z=i x y z=-i 对于条件(1) 1. 当函数 f (z) 在上半平面上有无穷多个奇点时该如何处理 2. 例子 y=? O -R R y=0 y=?/2 奇点 z=??/2i, ?3?/2i, ? 周期 2?i 思考： 计算积分 例1 计算积分 例2 计算积分 例1 计算菲涅尔积分 例2 R CR -R R C? -1 *