374-留数定理的应用.pptVIP

* 留数定理的应用 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。 §3 留数在定积分计算上的应用 如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分： 1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而 其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点. 例1 计算 的值. [解] 由于0p1, 被积函数的分母在0?q ? 2p内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点. 例2 计算 的值. 解：令 例 3 解： 作业 P108: 1(1)(2)(4)(6), 2, 3, 5. 回顾： 小圆弧引理 推论 大圆弧引理 若当引理（Jordan） -ai y x 若函数 f(z)在上半平面除去 z1 z2 z3 y CR -R R O x 特别地，若f(z)是有理函数 P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点， 且Q(z)的次数比P(z)大2，则 上式成立。 证明：利用大圆弧引理。 例 4 例 5 解： z1 z2 z3 y CR -R R O x 若函数 f(z)在上半平面除去 也可写为 证明：利用若当引理。 如果在f(z)在实轴上取实值，分出实部和虚部得到 特别地， 若f(z)是实系数的有理函数P(z)/Q(z)，Q(z)在实轴上无零点，且Q(z)的次数比P(z)的次数至少大1，则上面各式成立。 例6 计算 的值. [解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 例4 计算积分 的值. [解] 因为 是偶函数, 所以 （Dirichlet积分，在研究阻尼振动中十分有用。） *