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微分方程应用 微分方程应用 微分方程应用 微分方程应用 微分方程应用 微分方程应用 上机作业 * * 微分方程应用 —— 猎狗追兔问题 问题描述： 在旷野上有一只野兔和一条猎狗，猎狗发现野兔并开始追踪，同时野兔也发现猎狗，开始跑向兔穴。 假定猎狗的追踪方向始终对着野兔，猎狗和野兔的奔跑速度分别为 u 和 v。 问：猎狗能否在野兔进洞前抓住野兔？ 分析： 建立坐标系：设兔子的家为原点 (0,0)，兔子与猎狗的初始位置分别为 (0, b) 和 (x0, y0)，其中 b0，x00 在时刻 t：兔子位于(0, b+vt)，设猎狗位于 (x(t) , y(t) ) 。 (0,0) (0,b) (x0,y0) 由于猎狗的追踪方向始终对着野兔，故有 (x(t) , y(t) ) (0, b+vt) 猎狗在 [0, t] 内走过的路程为 其中 u 是猎狗奔跑的速度。 消去变量 t 两边求导 猎狗奔跑的轨迹 如何判断猎狗有没有在野兔跑回家前追上兔子？ 计算 x=0 时 y 的值！ y 0 追上兔子! 微分方程求解： 初值条件： 化为方程组：令 z=y function dx=dog(t,x) % 函数文件 global u v; dx=[x(2); v/u*sqrt(1+x(2)*x(2))/t]; 例：设野兔的家为原点 (0,0)，兔子与猎狗的初始位置分别为 (0, -60) 和 (70, 15)，猎狗和野兔的奔跑速度分别为 5m/s 和 3m/s，问：猎狗能否在野兔进洞前抓住野兔？ global u v; % 脚本文件 u=5; v=3; x0=[15; 15/14]; % 初值 [t,x]=ode45(@dog,[70,0],x0); fprintf(x=0 时 y=%.4f\n,x(end,1)); 设野兔的家为原点 (0,0)，兔子与猎狗的初始位置分别为 (0, -60) 和 (70, 15)，猎狗的奔跑速度为 5m/s。 问：野兔的奔跑速度至少为多少时，才能确保不被猎狗抓住？
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