数学素材：1.1你能证明吗试题资料北师大版九年级上.docVIP

九年级上第一章证明 第一节你能证明吗 第1课时 一、试题资料库： 例1. （1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为 。 （2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为 。 解答：（1）如果等腰三角形的两边分别为3和6，则周长为 15 。 （2）如果等腰三角形的两边分别为3和4，则周长为 10或11 。 例2. 已知如图AB＝AC，BD＝DC，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：DE＝DF。 证明：连结AD ∵AB＝AC，BD＝DC ∴AD平分∠BAC ∵DE⊥AB，DF⊥AC ∴DE＝DF ? 例3. 已知：B、C、E在同一直线上，△ABC、△DEC是等边三角形，BD交AC于Q，AE交CD于P，求证： （1）BD＝AE； （2）△CPQ是等边三角形； （3）PQ∥BC。 分析：（1）证BD、AE所在的△BDC和△AEC全等。 （2）可证CQ＝PC，可通过证△CEP与△CQD全等来证。 （3）由△PCQ为等边三角形可得∠QPC＝60°，可通过内错角相等来证PQ∥BC。 证明：（1）∵△ABC，△DEC为等边三角形 ∴∠ACB＝∠DCE＝60° 在△BCD和△ACE中， ∴△BCD≌△ACE（SAS） ∴BD＝AE（全等三角形的对应边相等） （2）由（1）∠CDQ＝∠CEP（全等三角形的对应角相等） ∵∠BCE＝180° ∴∠QCP＝180°－∠BCA－∠DCE＝180°－60°－60°＝60° 在△CDQ和△CEP中， ∴△CDQ≌△CEP（ASA） ∴CQ＝CP（全等三角形对应边相等） 在△PCQ中，∠PCQ＝60° ∴△PCQ为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形） （3）∵△CPQ是等边三角形 ∴∠PQC＝60°（等边三角形的每一个角都是60°） ∴∠PQC＝∠BCQ ∴PQ∥BC（内错角相等，两直线平行） ? 例4. 如图：AB＝AC，BC∥DE，AD、AE分别交BC于点G、H，∠ADE＝∠AED。 求证：BG＝CH 证明：∵BC∥DE ∴∠1＝∠ADE（两直线平行，同位角相等） 同理，∠2＝∠AED 又∠ADE＝∠AED ∴∠1＝∠2（等量代换） ∴AG＝AH（等角对等边） 过点A作等腰三角形ABC底边的高线AO ∴BO＝CO（等腰三角形底边的高与底边的中线重合） ∵AO⊥GH ∴GO＝OH（同上） ∴BG＝CH（等量代换） 例5. 如图ABC为等边三角形，D为CB的延长线上任一点，以AD为边作等边三角形ADE，求证：∠ABE＝∠ADE。 证明：∵ABC与ADE均为等边三角形。 ∴AE＝AD，AB＝AC， ∠EAD＝∠BAC＝， ∴∠EAD＋∠DAB＝∠BAC＋∠DAB 即∠EAB＝∠DAC ∴∴∠ABE＝∠C＝， ∴∠ABE＝∠ADE. ? 例6. 已知如图在等边三角形ABC各边上分别取D、E、F，使AD＝BE＝CF，AE、BF、CD两两交于G、H、K三点，求证：GHK为等边三角形。 证明：∵ABC为等边三角形 ∴∠ABC＝∠BCF＝ ∵AB＝BC，BE＝CF ∴ ∴∠BAE＝∠CBF ∵∠ABF＋∠CBF＝， ∴∠AGH＝∠BAE＋∠ABF＝ 同理：∠GHK＝∠HKG＝ ∴∠AGH＝∠GHK＝∠HKG ∴GHK是等边三角形。 ? 例7. 已知如图在RtABC，∠C＝，，求证：AB。 证明：延长BC到D使得CD＝BC，连结AD 在ACD和ACB中 ∴ ∴∠BAC＝∠DAC＝，AB＝AD，即∠DAB＝ ∴ABD是等边三角形 ∴BD＝AB ∵CB＝BD ∴CB＝AB ? 例8. 已知ABC中，AB＝AC，，AB的垂直平分线EF交AB于E交BC于F。求证：CF＝2BF。 证明：连结AF ∵EF为AB的垂直平分线 ∴BF＝AF ∴∠BAF＝ 又∵AB＝AC， ∴ ∴ ∴RtAFC中，，AF＝CF 又∵AF＝BF，∴BF＝CF ∴CF＝2BF ? ? 拓广探索（1.通常作顶角平分线、底边中线、底边高线） 例9. 已知：如图AB＝AC，BD⊥AC于D，求证：。 证明：作∠BAC的平分线AE， 交BC于E 则 又∵AB＝AC， ∴AE⊥BC ∴∠2＋∠ACB＝ ∵BD⊥AC ∴∠DBC＋∠ACB＝ ∴∠2＝∠DBC， ∴ ? （2. 常延长一腰至等长，构造直角三角形解题） 例10. 已知如图在ABC中，AB＝