直线与圆.docVIP

专题四　解析几何 第一讲　直线与圆 一、选择题 1．已知直线l1的方向向量a＝(1,3)，直线l2的方向向量b＝(－1，k)．若直线l2经过点(0,5)且l1l2，则直线l2的方程为(　　) A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0 C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0 解析：l1⊥l2，a·b＝0. －1＋3k＝0，k＝，b＝. l2方程为y＝－x＋5， 即x＋3y－15＝0. 答案：B 2．若直线＋＝1通过点M(cos α，sin α)，则(　　) A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1 C.＋≤1 D.＋≥1 解析：直线＋＝1通过点M(cos α，sinα)，我们知道点M在单位圆上，此问题可转化为直线＋＝1和圆x2＋y2＝1有公共点，圆心坐标为(0,0)，由点到直线的距离公式有≤1＋≥1，故选D. 答案：D 3．(2010·福建)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为(　　) A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0 C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0 解析：抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，满足题意的圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，整理得x2＋y2－2x＝0，故选D. 答案：D 4．(2010·江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　) A. B.∪[0，＋∞) C. D. 解析：圆心(3,2)到直线的距离d＝， 则|MN|＝2 ＝2≥2，解得－≤k≤0，故选A. 答案：A 5．(2010·湖北)若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是(　　) A．[1－2，1＋2] B．[1－，3] C．[－1,1＋2] D．[1－2，3] 解析：y＝3－变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2,3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示． 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，b的取值范围为1－2≤b≤3.故选D. 答案：D 二、填空题 6．(2009·全国)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是： 15°　30°　45°　60°　75° 其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)． 解析：两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为＝，又动直线l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两线的夹角应为30°，因此只有适合． 答案： 7．(2009·四川理)若O：x2＋y2＝5与O1：(x－m)2＋y2＝20(mR)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________． 解析： 如图所示，在RtOAO1中， OA＝，O1A＝2，OO1＝5， AC＝＝2， AB＝4. 答案：4 8．(2010·课标全国)过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2,1)，则圆C的方程为________． 解析：由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3. 过B点且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为 y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0， 联立解得 所以圆心坐标为(3,0)， 半径r＝＝， 所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2. 答案：(x－3)2＋y2＝2 9．(2010·山东)已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C所截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为______________________________________________________________________． 解析：设圆心A(x0,0)，x00，r＝|AC|＝x0－1，|BC|＝，由直线l方程可知BCA ＝45°，所以r＝2，x0＝3，l⊥AB，kAB＝－1，AB方程为y＝－1(x－3)，即x＋y－3＝0. 答案：x＋y－3＝0 三、解答题 10．已知mR，直线l：mx－(m2＋1)y＝4m和圆C：x2＋y2－8x＋4y＋16＝0. (1)求直线l斜率的取值范围； (2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？ 解：(1)直线l的方程可化为y＝x－， 直线l的斜率k＝，因为|m|≤(m2＋1)， 所以|k|＝≤，当且仅当|m|＝1时等号成立． 所以，斜率k的取值范围为. (2)不能． 由(1)知l的方程为y＝k(x－4)，其中|k|≤. 圆C的圆心为C(4，－2)，半径r＝2.圆心C到直线l的距离d＝. 由|k|≤，得d≥