一道自主招生题的探究.pdf

2009年第 10期 17 一 道 自 主 招 生 题 的 探 究 姚 建 慧 (上海市闵行中学, 200240) ( ) ( ) 　　2008年北京大学提前招生数学试题中 不妨画出函数 y =f x 的草图 如图 1 , 有如下一道试题. 对应的 y = g (x) 的图像即得. 题 目　设实数 a 、a 、a 、b 、b 、b 满足 1 2 3 1 2 3 a + a + a = b + b + b , 1 2 3 1 2 3 a a + a a + a a = b b + b b + b b , 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 m in { a , a , a } ≤m in { b , b , b } . 1 2 3 1 2 3 求证 : m ax{ a , a , a } ≤m ax{ b , b , b } . 1 2 3 1 2 3 从表面上看, 此题涉及两组共六个变量. 前两个等式条件没什么特别的, 稍有经验的 图 1 ( ) 读者就会发现这是一元高次 此题是三次 由图像可知 b ≥a . 3 3 ( ) 方程根与系数关系 又称韦达定理 的一部 但是, 图像只能作为分析的手段, 不能代 分, 关键是第三个以不等式形式表述的条件 替严格的代数证明. 下面给出严格的证明. 以及所求证的结论. 证明:关于 f ( x) 、g ( x) 等相关量假定其 分析 :不妨设 a ≤a ≤a , b ≤b ≤b . 1 2 3 1 2 3 如上分析中所述. 令 f (