2011年高考数学总复习系列——高中数学选修2-1

《2011年高考数学总复习系列》——高中数学选修2-1 第一章 常用逻辑用语 ******特别注意：本章历来不做重点，只需知道“且”“或”“非”的特点即可 一、基础知识【理解去记】 1.充要条件的判定可利用集合包含思想判定：若，则A是B的充分条件；若，则A是B的必要条件；若且即，则A是B的充要条件. 2.充要条件的问题要十分细心地去辨析：“哪个命题”是“哪个命题”的充分（必要）条件；注意区分：“甲是乙的充分条件（甲乙）”与“甲的充分条件是乙（乙甲）”，是两种不同形式的问题. 3.掌握命题的四种不同表达形式，会进行命题之间的转化，会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假. 有时利用“原命题”与“逆否命题”等价，“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便. 4. 会用集合的子集的方法判断充要条件： ①A是B的充分条件（或B是A的必要条件）即A ②A是B的充分不必要条件 ③A是B的充要条件 二、基础例题【必会】 注意在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。 例1.（2009全国高考卷）已知函数是减函数，求a的取值范围。 【分析】是在内单调递减的充分不必要条件，在解题过程中易误作是充要条件，如在R上递减，但。 【解析】：求函数的导数（1）当时，是减函数，则故解得。（2）当时，易知此时函数也在R上是减函数。（3）当时，在R上存在一个区间在其上有，所以当时，函数不是减函数，综上，所求a的取值范围是。 【知识归类点拔】若函数可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明：①与为增函数的关系:能推出为增函数，但反之不一定。如函数在上单调递增，但，∴是为增函数的充分不必要条件。②时，与为增函数的关系:若将的根作为分界点，因为规定，即抠去了分界点，此时为增函数，就一定有。∴当时，是为增函数的充分必要条件。③与为增函数的关系:为增函数，一定可以推出，但反之不一定，因为，即为或。当函数在某个区间内恒有，则为常数，函数不具有单调性。∴是为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。 因此本题在第一步后再对和进行了讨论，确保其充要性。在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导致的错误还很多，这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性。 【练习】是否存在这样的K值，使函数在上递减，在上递增？ 答案：。（提示据题意结合函数的连续性知，但是函数在上递减，在上递增的必要条件，不一定是充分条件因此由求出K值后要检验。） 注意：易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用，缺乏严谨的逻辑思维。 例2.（2010年高考数学江苏卷，）设无穷等差数列{an}的前n项和为Sn. (Ⅰ)若首项，公差，求满足的正整数k； (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an}，使得对于一切正整数k都有成立. 【分析】本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 【解析】：（I）当时 由，即 又. （II）设数列{an}的公差为d，则在中分别取k=1,2,得 由（1）得 当 若成立 , 若故所得数列不符合题意.当 若 若. 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列： ①{an} : an=0，即0，0，0，…；②{an} : an=1，即1，1，1，…；③{an} : an=2n－1，即1，3，5，…， 第二章 圆锥曲线与方程 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0e1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即 (0e1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, b∈R+且a≠b。从原点出发的射线交圆c1于P，交圆c2于Q，过P引y轴的平行线，过Q引x轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。 2．椭