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专题07等腰三角形存在性问题

一、知识导航

等腰三角形存在性问题

【问题描述】

如图，点A坐标为（1,1），点B坐标为（4,3），在x轴上取点C使得△ABC是等腰三角形．

【几何法】“两圆一线”得坐标

（1）以点A为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有AB=AC；

（2）以点B为圆心，AB为半径作圆，与x轴的交点即为满足条件的点C，有BA=BC；

（3）作AB的垂直平分线，与x轴的交点即为满足条件的点C，有CA=CB．

【注意】若有三点共线的情况，则需排除．

作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求．

同理可求，下求．

显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果A、B均往下移一个单位，当点A坐标为（1,0），点B坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解：

而对于本题的，或许代数法更好用一些．

【代数法】表示线段构相等

（1）表示点：设点坐标为（m，0），又A点坐标（1,1）、B点坐标（4,3），

（2）表示线段：，

（3）分类讨论：根据，可得：，

（4）求解得答案：解得：，故坐标为．

【小结】

几何法：（1）“两圆一线”作出点；

（2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标．

代数法：（1）表示出三个点坐标A、B、C；

（2）由点坐标表示出三条线段：AB、AC、BC；

（3）根据题意要求取①AB=AC、②AB=BC、③AC=BC；

（4）列出方程求解．

问题总结：

（1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上；

（2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解；

（3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口．

二、典例精析

如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接．

（1）求二次函数的表达式；

（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；

（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由．

【分析】

（1）；

（2）可用铅垂法，当点D坐标为时，△ADE面积最大，最大值为14；

（3）这个问题只涉及到A、E两点及直线x=-1（对称轴）

①当AE=AP时，以A为圆心，AE为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．

∵AE=，∴，又AH=3，∴，

故、．

②当EA=EP时，以E点为圆心，EA为半径画圆，与对称轴交点即为所求P点．

过点E作EM垂直对称轴于M点，则EM=1，，

故、．

③当PA=PE时，作AE的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P点．

设，，

∴，解得：m=1．

故．

综上所述，P点坐标为、、、、．

【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决．

三、中考真题演练

1．（2023·西藏·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C．

??

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图甲，在y轴上找一点D，使为等腰三角形，请直接写出点D的坐标；

2．（2023·青海·中考真题）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，交轴于点．

??

(1)求此二次函数的解析式；

(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由（请在图中探索）．

3．（2023·湖南娄底·中考真题）如图，抛物线过点、点，交y轴于点C．

??

(1)求b，c的值．

(2)点是抛物线上的动点

②过点P作轴，交于点E，再过点P作轴，交抛物线于点F，连接，问：是否存在点P，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

4．（2023·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线过点，对称轴是直线．

??

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

(2)若点B在抛物线上，过点B作x轴的平行线交抛物线于点C、当是等边三角形时，求出此三角形的边长；

5．（2023·湖北随州·中考真题）如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

??

(1)直接写出抛物线和直线的解析式；

(2)如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；

6．（2023·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点，与y轴交于点，直线与抛物线交于B，C两点．

????

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)若是以为腰的等腰三角形，求点B的坐标；

7．（2023·四川凉山·中考真题）如图，已知抛物线与轴交于和两点，与轴交于点．直线过抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；

(2)若直线与抛物线交于点，与直线交于点．

①当取得最大值时，求的值和的最大值；

②当是等腰三角形时，求点的坐标．

8．（2023·重庆·中考真题