勾股定理及逆定理证明.ppt

习题1.4独立作业11.如图，在△ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:AB=AC.证明:∵BD=CD,BC=10cm(已知)∴BD=5cm(等式性质).在△ABD中,∵AD2+BD2=122+52＝144+25=169,AB2=132=169∴AD2+BD2=AB2∴△ABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形).在Rt△ADC中∴AC2=DC2+AD2=122+52＝144+25=169∴AC2=AB2∴AB=AC(等式性质).DBCA第21页,共24页，2024年2月25日，星期天2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=10m,CB1⊥AB,B1C1⊥AC,垂足为B1,C1,那么BC的长是多少？B1C1呢？解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=10m(已知)∴BC=AB/2=10÷2＝5(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半)又∵CB1⊥AB,∠BCB1=900-600=300(直角三角形两锐角互余),∴BB1=BC/2=5÷2＝2.5(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).BCA300B1C1∴AB1=AB-BB1=10-2.5=7.5(等式性质).∴B1C1=AB1/2=7.5÷2＝3.75(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).第22页,共24页，2024年2月25日，星期天3.如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？解:如下图,将四棱柱的侧面展开,连结AC1,∵AC=10cm,CC1=8cm(已知),BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C第23页,共24页，2024年2月25日，星期天感谢大家观看第24页,共24页，2024年2月25日，星期天关于勾股定理及逆定理证明驶向胜利的彼岸勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pythagorastheorem）.开启智慧acb勾弦股第2页,共24页，2024年2月25日，星期天驶向胜利的彼岸勾股定理的证明我能行1方法一:拼图计算方法二：割补法方法三：赵爽的弦图方法四：总统证法方法五：青朱出入图方法六：折纸法方法七：拼图计算这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法?第3页,共24页，2024年2月25日，星期天总统证法回顾反思1这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统,在1876,利用了梯形面积公式。图中三个三角形面积的和是梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得:c2=a2+b2。ababcc第4页,共24页，2024年2月25日，星期天驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理我能行2如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形.已知:如图(1),在△ABC中,AC2+BC2=AB2.求证:△ABC是直角三角形.acbABC(1)第5页,共24页，2024年2月25日，星期天逆定理的证明我能行2证明:作Rt△A′B′C′使∠C′＝900，A′C′＝ACB′C′＝BC(如图),则acbABC(1)acbB′A′C′(2)A′C′2＋B′C′2＝A′B′2(勾股定理)∵AC2＋BC2＝AB2(已知),A′C′＝AC,B′C′＝BC(已作)第6页,共24页，2024年2月25日，星期天∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)∴∠C=∠C′＝900(全等三角形的对应角相等)∴△ABC是直角三角形(直角三角形定义).∴AB2＝A′B′2(等式性质)∴AB＝A