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求解线性方程组的方法探讨

摘要:线性方程组在数学领域中的应用十分广泛，而且它的求解方法在代数的学习中有着重要的作用，线性方程组的求解方法与行列式、矩阵、线性变换、向量组的线性相关性有着很大的关系，而在《高等代数》中只介绍了高斯消元法以及克莱姆法则，所以解法比较单一，有一定局限性。本论文首先对课题的背景、意义、国内外研究状况进行阐述。而后介绍其概念和他的性质定理。然后对线性方程组的求解方法进行归纳和总结。在例题中说明对每种解法的步骤及其特点，并对各种方法的优缺点、适用性进行分析。线性方程组的解法虽多，但是根据线性方程组的不同结构来选用合适的解题方法，才能提高解题的效率,更快更好的得到结果。

关键词：线性方程组；矩阵；初等变换；高斯消元法

Discussion?on?Methods?of?Solving?Linear?Equations

Abstarct:Linear?equations?are?widely?used?in?mathematics,?and?its?solution?plays?an?important?role?in?learning?algebra.The?method?of?solving?linear?equations?has?a?great?relationship?with?determinant,?matrix,?linear?transformation?and?linear?correlation?of?vector?groups.However,?only?gauss?elimination?and?Cramerapos;s?Law?are?introduced?in?Advanced?Algebra,?so?the?solution?is?relatively?simple?and?has?certain?limitations.Firstly,?this?paper?expounds?the?background,?significance?and?research?status?at?home?and?abroad?of?the?subject.Then?the?concept?and?his?property?theorem?are?introduced.Then,?the?methods?of?solving?the?linear?equations?are?summarized.In?the?examples,?the?steps?and?characteristics?of?each?method?are?explained,?and?the?advantages,?disadvantages?and?applicability?of?each?method?are?analyzed.Although?there?are?many?solutions?to?linear?equations,?only?by?choosing?appropriate?solutions?according?to?different?structures?of?linear?equations?can?we?improve?the?efficiency?of?solving?problems?and?get?better?and?faster?results.

Keywords：linearequations;matrix;Elementarytransformation;gausselimination

目录

TOC\o1-3\u1. 绪论 1

1.1 线性方程组的求解的背景及意义 1

1.2 线性方程组国内外研究现状及评价 1

2. 线性方程组的概念和基础理念 2

2.1 线性方程组的概念及形式 2

2.2 线性方程组有无解的判定定理 2

2.3 线性方程组的解的结构 3

2.3.1 齐次方程组的解的结构 3

2.3.2 非齐次方程组的解的结构 4

3. 线性方程组的求解方法 5

3.1 高斯消元法 5

3.2 LU分解法 7

3.3 克莱姆（Cramer）法则 8

3.4 逆矩阵解法 10

3.5 分块矩阵解法 12

3.6 齐次线性方程组的基础解系求解方法 13

3.7 非齐次线性方程组化为齐次线性方程组方法 14

结论 17

参考文献 18

致谢 19

绪论

线性方程组的求解的背景及意义

线性方程组求解在中国有着悠久历史，对线性方程组的研究，中国比欧洲至少早一千多年，记载于我国古代第一部数学专著《九章算术》的方程章。现行的《高等代数》及线性代数教材中只用高斯消元法和克莱姆法则来求解线性方程组，在解决一些困难问题中存在一定的局限