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浙江省温州市2024届高三第三次适应性考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．在中，三个内角成等差数列，则（????）

A． B． C． D．1

2．平面向量，若，则（????）

A． B．1 C． D．2

3．设为同一试验中的两个随机事件，则“”是“事件互为对立事件”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知，和的展开式中二项式系数的最大值分别为和，则（????）

A． B．

C． D．的大小关系与有关

5．已知，则（????）

A． B． C． D．

6．已知函数，则关于方程的根个数不可能是（????）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7．已知是椭圆的左右焦点，上两点满足：，，则椭圆的离心率是（????）

A． B． C． D．

8．数列的前项和为，则可以是（????）

A．18 B．12 C．9 D．6

二、多选题

9．已知空间两条异面直线所成的角等于60°，过点与所成的角均为的直线有且只有一条，则的值可以等于（????）

A．30° B．45° C．75° D．90°

10．已知是关于的方程的两个根，其中，则（????）

A． B． C． D．

11．已知函数的值域是，则下列命题正确的是（????）

A．若，则不存在最大值 B．若，则的最小值是

C．若，则的最小值是 D．若，则的最小值是

三、填空题

12．设随机变量服从正态分布，若，则.

13．定义在上的函数满足：，则.

14．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，点，沿轴将坐标系翻折成直二面角，当三棱锥体积最大时，.

四、解答题

15．由四棱柱截去三棱锥后得到如图所示的几何体，四边形是菱形，为与的交点，平面.

(1)求证：平面；

(2)若，求平面与平面夹角的大小.

16．设函数的导函数为.

(1)求函数的单调区间和极值；

(2)证明：函数存在唯一的极大值点，且.

（参考数据：）

17．已知直线与双曲线相切于点.

(1)试在集合中选择一个数作为的值，使得相应的的值存在，并求出相应的的值；

(2)过点与垂直的直线分别交轴于两点，是线段的中点，求点的轨迹方程.

18．现有张形状相同的卡片，上而分别写有数字，将这张卡片充分混合后，每次随机抽取一张卡片，记录卡片上的数字后放回，现在甲同学随机抽取4次.

(1)若，求抽到的4个数字互不相同的概率；

(2)统计学中，我们常用样本的均值来估计总体的期望.定义为随机变量的阶矩，其中1阶矩就是的期望，利用阶矩进行估计的方法称为矩估计.

（ⅰ）记每次抽到的数字为随机变量，计算随机变量的1阶矩和2阶矩；（参考公式：）

（ⅱ）知甲同学抽到的卡片上的4个数字分别为3，8，9，12，试利用这组样本并结合（ⅰ）中的结果来计算的估计值.（的计算结果通过四舍五入取整数）

19．对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，.

(1)当时，写出集合；

(2)有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示.

（ⅰ）已知，试比较大小关系；

（ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的.

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参考答案：

1．C

【分析】由条件可知，结合求得，从而代入得解.

【详解】因为成等差数列，所以；

又，所以，即，所以，

所以.

故选：C.

2．A

【分析】根据向量平行满足的坐标关系即可求解.

【详解】，由于，所以，解得，

故选：A

3．B

【分析】根据对立事件概率的性质可以说明条件是必要的，容易给出反例说明条件不是充分的.

【详解】若互为对立事件，根据对立事件概率公式可直接得到，故条件是必要的；

若试验基本事件含3种及以上，其中表示概率为的两个不同事件，

则不互为对立事件，此时，故条件不是充分的.

故选：B.

4．A

【分析】根据二项式系数的性质知，，再用组合数的定义验证.

【详解】根据二项式系数的性质，最大的二项式系数出现在正中间的1项或正中间的2项.

即，，

所以，从而.

故选：A.

5．B

【分析】先由两角和正弦和已知条件解得，进而得，再利用两角和与差的正弦、余弦公式简化所求式子即可求解.

【详解】因为，故由两角和正