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第三节分块矩阵及其运算1.分块矩阵的概念对于矩阵A,采用一种分法,即用若干条纵线和横线分成一些小矩阵,每一个小矩阵称为A的子块,以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.在进行行数与列数较大的矩阵的运算时,常将矩阵分块,以便使运算简化.例如3×4矩阵分成子块的分法很多,下面举出其中的三种分法.(1),(2),(3).由分法(1)可以得出22的分块矩阵其中即为A的子块,而A是以这些子块为元素的形式上的矩阵.类似地,也可以写出对应于分法(2)及(3)的分块矩阵.矩阵分块时,要适当地选择分法,使一些子块为便于运算的特殊矩阵,如单位矩阵,零矩阵,上(下)三角形矩阵等.例如,对矩阵选择如下的分法便可以得分块矩阵其中,.还有一些常用的分块矩阵,我.们介绍其中的几种.在矩阵中,以它的行为子块,可得分块矩阵,其中,.在矩阵中,以它的列为子块,可得分块矩阵其中,.设A为n阶矩阵,如果A的主对角线上的子块都是矩阵,其余子块都是零矩阵,即其中都是方阵,那么A称为分块对角矩阵(或者准对角矩阵).显然,对角矩阵是特殊的分块对角矩阵.2.分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算类似,分别叙述如下:(1)设矩阵A与B是同型的矩阵,对它们采用相同的分法,有,其中与为同型矩阵,那么(2)设,为数,那么(3)设A为矩阵,B为矩阵,分别给A与B一种分法,得其中的列数分别等于的行数,那么,其中.例1设矩阵求.解分别把A、B分块成那么而从而例2设分块对角矩阵具有相同的分法,即与为同型矩阵,求.解由分块矩阵的乘法,得,则(4)设(5)设分块对角矩阵那么A为可逆矩阵的充分必要条件是所有都是可逆矩阵,并且当A为可逆矩阵时,有例3设,求解由§2,例1,为可逆矩阵,且.易知也为可逆矩阵,且.因此,A为可逆矩阵,并且有.则例4设乘法AB有意义,B按列分块,若则即B的每一列都是齐次线性方程组AX=O的解。矩阵例5设则
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