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高中数学椭圆公式大全

高中数学椭圆公式精编

椭圆的标准方程分为两种形式，取决于焦点的位置：

1)当焦点位于X轴上时，其标准方程为：x^2/a^2+y^2/b^2=1，其中ab0。

2)当焦点位于Y轴上时，其标准方程为：x^2/b^2+y^2/a^2=1，同样地，ab0。

在这些方程中，a和b均大于0。a、b中较大的值对应椭圆的长半轴，较小的值对应短半轴。当ab时，焦点位于X轴上，焦距为2*(a^2-b^2)^0.5。焦距与长、短半轴的关系可表示为：b^2=a^2-c^2，而准线方程则是x=a^2/c和x=-a^2/c。

此外，如果椭圆的中心位于原点，但焦点的位置并不明确在X轴或Y轴上，方程可以设为mx^2+ny^2=1，其中m0,n0，且m≠n。这是标准方程的一种统一形式。

椭圆的面积计算公式为πab。椭圆可以视为圆在某一方向上的拉伸，其参数方程为：x=a*cosθ,y=b*sinθ。

在点(x0,y0)处，椭圆的标准形式切线方程为：xx0/a^2+yy0/b^2=1。

椭圆的面积公式

S=π*a*b（其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度）。

或者，S=π*A*B/4（其中A和B分别是椭圆的长轴和短轴的长度）。

椭圆的周长公式

椭圆的周长没有简单的公式，需要使用积分或无限项级数的求和来精确计算。例如：

L=∫[0,π/2]4a*sqrt(1-(e*cosθ)^2)dθ≈2π*sqrt((a^2+b^2)/2)[椭圆近似周长]，其中a为椭圆长半轴，e为离心率。

椭圆离心率的定义是椭圆上某点到焦点的距离与该点到相应准线的距离之比。设椭圆上点P到某焦点距离为PF，到对应准线距离为PL，则离心率e=PF/PL。

椭圆的准线方程

x=±a^2/C

椭圆的离心率公式

e=c/a

椭圆的焦准距：椭圆的焦点到相应准线的距离，数值上等于b^2/c。

椭圆焦半径公式|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0。

椭圆过右焦点的半径r=a-ex，过左焦点的半径r=a+ex。

椭圆的通径：过焦点的垂直于X轴（或Y轴）的直线与椭圆的两个焦点A、B之间的距离，数值上等于2b^2/a。

点与椭圆位置关系：点M(x0,y0)与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的关系如下：

点在圆内：x0^2/a^2+y0^2/b^21

点在圆上：x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

点在圆外：x0^2/a^2+y0^2/b^21

直线与椭圆位置关系：

y=kx+m①

x^2/a^2+y^2/b^2=1②

由①②推出：x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切：△=0

相离：△0，无交点

相交：△0，可利用弦长公式：A(x1,y1)，B(x2,y2)

|AB|=d=sqrt(1+k^2)*|x1-x2|=sqrt(1+k^2)*[(x1+x2)^2-4x1x2]=sqrt(1+1/k^2)*|y1-y2|=sqrt(1+1/k^2)*[(y1+y2)^2-4y1y2]

椭圆通径（定义：圆锥曲线（不包括圆）中，过焦点且垂直于轴的弦）公式：2b^2/a

1、范围：焦点在轴上，；焦点在轴上，

2、对称性：关于X轴、Y轴、原点中心对称。

3、顶点：(a，0)，(-a，0)，(0，b)，(0，-b)

4、离心率：或e=sqrt(1-b^2/a^2)

5、离心率范围：0e1

6、离心率越大，椭圆越扁平；越小，则越接近于圆。

7、焦点（当中心为原点时）：(-c，0)，(c，0)或(0，c)，(0，-c)

8、与（m为实数）具有相同离心率的椭圆。

9、P为椭圆上的一点，a-c≤PF1（或PF2）≤a+c。

10.椭圆的周长等于特定正弦曲线在一个周期内的长度。