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二次曲线仿射理论

§4.6二次曲线的仿射理论

§4.6二次曲线的仿射理论

三、直径与共轭直径

1.定义

(1).直径(XY,ZP)=–1



仿射定义

无穷远点P的有穷一组平行弦中点的



远极线(过中心的).轨迹.

l不是任何二阶曲线的直径！

(2).共轭直径

(XY,ZP)=–1



仿射定义

直径AB的共轭直直径AB的共轭直径

径为AB上无穷远点P为平行于AB的弦的中



的极线EF(相互通过对点轨迹EF.

方极点的两直径).

(3).共轭方向：与一对共轭直径平行的方向.

§4.6二次曲线的仿射理论

§4.6二次曲线的仿射理论

三、直径与共轭直径

1.定义2.性质

(1).有心二阶曲线

(i)的任一对共轭直径与l一起,构成的一



个自极三点形.

(ii)的每一直径平分与其共轭直径平行的弦,

且平行于共轭直径与交点处的两切线.

(2).抛物线

(i)的直径相互平行(l不是抛物线的直径).



(ii)的任一直径的极点为其与有穷远交点

处切线上的无穷远点.

(iii)的任一直径平分其与有穷远交点处切线

平行的弦.(XY,ZP)=–1.



(iv)抛物线没有共轭直径,将被一直径平分的弦的方向称为该

直径的共轭方向.

§4.6二次曲线的仿射理论

§4.6二次曲线的仿射理论

三、直径与共轭直径

1.定义2.性质3.直径的方程

(1).有心二阶曲线

(i)直径的方程.因为直径是以的中心为束心的线束中的直线.

以两特殊直径参数表示.取两无穷远点(1,0,0),(0,1,0),其极线(对应

的直径)方程为

即从而任一直径l的方程为

注:k的几何意义.(4.37)表示的直径l方程可改写为：

这说明l为(1,k,0)的极线.而(1,k,0)是l的共轭直径上的无穷远点,从

而,(4.37)中的参数k为直径l的共轭方向(共轭直径的斜率).

§4.6二次曲线的仿射理论

§4.6二次曲线的仿射理论

三、直径与共轭直径

1.定义2.性质3.直径的方程

(1).有心二阶曲线

(ii)两直径共轭的条件.设直径的共轭直径为l.

则l为l上的无穷远点(a+ka,–(a+ka),0)的极线.从而l的方程为

12221112

即其中为l的斜率,即

从而,两直径共轭两直径的斜率满足对合方程.

性质.在以有心二阶曲线的中心为束心的线束中,直径与共

轭直径的对应是一个对合.

§4.6二次曲线的仿射理论

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三、直径与共轭直径

1.定义2.性质3.直径的方程