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上海市西南模范中学2024届高考临考冲刺数学试卷
考生请注意:
1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。
2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知非零向量,满足,,则与的夹角为()
A. B. C. D.
2.定义运算,则函数的图象是().
A. B.
C. D.
3.设、,数列满足,,,则()
A.对于任意,都存在实数,使得恒成立
B.对于任意,都存在实数,使得恒成立
C.对于任意,都存在实数,使得恒成立
D.对于任意,都存在实数,使得恒成立
4.已知正四面体的棱长为,是该正四面体外接球球心,且,,则()
A. B.
C. D.
5.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则?R(A∩B)=()
A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)
C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)
6.圆心为且和轴相切的圆的方程是()
A. B.
C. D.
7.如图,是圆的一条直径,为半圆弧的两个三等分点,则()
A. B. C. D.
8.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“阶幻方”是由前个正整数组成的—个阶方阵,其各行各列及两条对角线所含的个数之和(简称幻和)相等,例如“3阶幻方”的幻和为15(如图所示).则“5阶幻方”的幻和为()
A.75 B.65 C.55 D.45
9.下列函数中,在区间上单调递减的是()
A. B. C. D.
10.已知复数满足,其中为虚数单位,则().
A. B. C. D.
11.已知复数,为的共轭复数,则()
A. B. C. D.
12.设a,b都是不等于1的正数,则“”是“”的()
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.记为数列的前项和,若,则__________.
14.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)
15.若,则的展开式中含的项的系数为_______.
16.直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_________
三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(12分)在中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,并且.
(1)已知_______________,计算的面积;
请①,②,③这三个条件中任选两个,将问题(1)补充完整,并作答.注意,只需选择其中的一种情况作答即可,如果选择多种情况作答,以第一种情况的解答计分.
(2)求的最大值.
18.(12分)某景点上山共有级台阶,寓意长长久久.甲上台阶时,可以一步走一个台阶,也可以一步走两个台阶,若甲每步上一个台阶的概率为,每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题,我们约定,甲从级台阶开始向上走,一步走一个台阶记分,一步走两个台阶记分,记甲登上第个台阶的概率为,其中,且.
(1)若甲走步时所得分数为,求的分布列和数学期望;
(2)证明:数列是等比数列;
(3)求甲在登山过程中,恰好登上第级台阶的概率.
19.(12分)已知.
(1)解不等式;
(2)若均为正数,且,求的最小值.
20.(12分)已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴,与有两个交点,,线段的中点为.
(Ⅰ)证明:直线的斜率与的斜率的乘积为定值;
(Ⅱ)若过点,延长线段与交于点,四边形能否为平行四边形?若能,求此时的斜率,若不能,说明理由.
21.(12分)某工厂生产某种电子产品,每件产品不合格的概率均为,现工厂为提高产品声誉,要求在交付用户前每件产品都通过合格检验,已知该工厂的检验仪器一次最多可检验件该产品,且每件产品检验合格与否相互独立.若每件产品均检验一次,所需检验费用较多,该工厂提出以下检验方案:将产品每个一组进行分组检验,如果某一组产品检验合格,则说明该组内产品均合格,若检验不合格,则说明该组内有不合格产品,再对该组内每一件产品单独进行检验,如此,每一组产品只需检验次或次.设该工厂生产件该产品,记每件产品的平均检验次数为.
(1)求的分布列及其期望;
(2)(i)试说明,当越小时,该方案越合理,即所需平均检验次数越少;
(ii)当时,求使该方案最合理时的值及件该产品的平均检验次数.
22.(10分)如图,椭圆的长轴长为,点、、为椭圆上的三个点
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