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第1章三角形的证明

(三)

(三)

2角平分线中作辅助线的四种常用方法

2角平分线中作辅助线的四种常用方法

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方法1作一边的垂线段

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，交

BC于点D，AC＝BC，能否在AB上确定一点E，使

△BDE的周长等于AB的长？

请说明理由．

解：

∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)．

∴AC＝AE.

∵AC＝BC，

∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE

＝BC＋BE＝AC＋BE＝AE＋BE＝AB.返回

方法2作两边的垂线段

2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分

线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，

两直角边分别与OA，OB交于点

C，D．求证：PC＝PD．

证明：如图，过点P作PE⊥OA于点E，

PF⊥OB于点F，

∴∠PEC＝∠PFD＝90°.

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF.

∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，

∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°，

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方法3延长作对称图形法

3．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D

是AB上一点，AE⊥CD交其延长线于点E，且

AE＝CD，BD＝8cm，

求点D到AC的距离．

解：

∴∠ACE＝∠FCE.

又∵DM⊥AC，DB⊥BC，

∴DM＝DB＝8cm.

∴点D到AC的距离为8cm.

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方法4截取作对称图形法

4．如图，AD为△ABC的中线，DE，DF分别是

△ADB和△ADC的角平分线．求证：BE＋

CFEF.

证明：如图，在AD上截取DH，使DH＝BD，

连接EH，FH.

∵AD是BC边上的中线，

∴BD＝CD＝HD.

∵DE平分∠ADB，

∴∠BDE＝∠HDE.

又∵DE＝DE，

∴△BDE≌△HDE(SAS)．

∴BE＝HE.

同理，△CDF≌△HDF.∴CF＝HF.

在△HEF中，∵HE＋HFEF，

∴BE＋CFEF.返回