拔尖2024年中考数学压轴题突破（全国通用）专题31三角形与新定义综合问题（教师版）.docxVIP

挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（全国通用）

专题31三角形与新定义综合问题

【例1】（2022?淮安区模拟）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can），如图1，在△ABC中，AB＝AC，底角∠B的邻对记作canB，这时canB＝＝．容易知道一个角的大小与这个角的邻对值是一一对应的，根据上述角的邻对的定义，解下列问题：

（1）can30°＝，若canB＝1，则∠B＝60°．

（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，canB＝，S△ABC＝48，求△ABC的周长．

【分析】（1）根据定义，要求can30°的值，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，根据∠B＝30°，可得：BD＝AB，再利用等腰三角形的三线合一性质，求出BC即可解答，

根据定义，canB＝1，可得底边与腰相等，所以这个等腰三角形是等边三角形，从而得∠B＝60°；

（2）根据定义，想利用等腰三角形的三线合一性质，想到过点A作AD⊥BC，垂足为D，canB＝，所以设BC＝8x，AB＝5x，然后利用勾股定理表示出三角形的高，再利用S△ABC＝48，列出关于x的方程即可解答．

【解答】解：（1）如图：过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BC＝2BD，

∵∠B＝30°，

∴BD＝ABcos30°＝AB，

∴BC＝2BD＝AB，

∴can30°＝＝＝，

若canB＝1，

∴canB＝＝1，

∴BC＝AB，

∵AB＝AC，

∴AB＝BC＝AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠B＝60°，

故答案为：，60；

（2）过点A作AD⊥BC，垂足为D，

∵canB＝，

∴＝，

∴设BC＝8x，AB＝5x，

∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝BC＝4x，

∴AD＝＝3x，

∵S△ABC＝48，

∴BC?AD＝48，

∴?8x?3x＝48，

∴x2＝4，

∴x＝±2（负值舍去），

∴x＝2，

∴AB＝AC＝10，BC＝16，

∴△ABC的周长为36，

答：△ABC的周长为36．

【例2】（2022?柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在△ABC，CD⊥AB于点D，AB＝CD，则△ABC为标准三角形．

【概念感知】

判断：对的打“√”，错的打“×”．

（1）等腰直角三角形是标准三角形．√

（2）顶角为30°的等腰三角形是标准三角形．×

【概念理解】

若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为1：1：或：：2．

【概念应用】

（1）如图，若△ABC为标准三角形，CD⊥AB于点D，AB＝CD＝1，求CA+CB的最小值．

（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．

【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；

（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；

【概念理解】当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，设BE＝x，则AE＝2x，求出AB＝x，则AB：AC：BC＝：：2；

【概念应用】（1）过C点作AB的平行线，作A点关于该平行线的对称点A'，连接A'B，当A'、B、C三点共线时，AC+BC＝A'B，此时AC+BC的值最小，求出A'B即可；

（2）分两种情况讨论：①当AC＝AB时，AC＝CD，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则AC＝a，由等积法求出BE＝a，用勾股定理分别求出AD＝2a，BD＝a，BC＝a，则可求sin∠BCE＝；②当BC＝AB时，BC＝DC，过点B作BE⊥AC交于E，设CD＝AB＝a，则BC＝a，由勾股定理分别求出BD＝2a，AD＝3a，AC＝a，再由等积法求出BE＝a，即可求sin∠BCE＝．

【解答】解：【概念感知】

（1）如图1：等腰直角三角形ABC中，AB⊥AC，

∵AB＝AC，

∴等腰直角三角形是标准三角形，

故答案为：√；

（2）如图2，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，CD⊥AB，

∵∠A＝30°，

∴CD＝AC，

∵CA＝AB，

∴CD＝AB，

∴△ABC不是标准三角形；

如图3，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝30°，AB＝AC，AE⊥BC，

此时AE＞BC，

∴△ABC不是标准三角形；

故答案为：×；

【概念理解】

如图1，当△ABC是等腰直角三角形时，AC：AB：BC＝1：1：；

如图4，当△ABC是等腰三角形，AB＝AC，AE⊥BC，AE＝BC，

∴BE＝EC＝BC＝AE，

设BE＝x，则AE＝2x，

在Rt△ABE中，AB＝x，

∴AB：AC：BC＝：：2；

故答案